Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores
Passo 1
Vamos lá! Temos um hexágono regular chamado ABCDEF. Queremos encontrar a soma dos vetores . Para isso, vamos usar os vetores e , que partem do centro O até os pontos D e E. Vamos precisar entender como relacionar os vetores dos lados do hexágono com esses vetores centrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e os ângulos internos são iguais. Além disso, os vetores que ligam o centro aos vértices são chamados de vetores de posição. No nosso caso, e são esses vetores de posição para os vértices D e E.
Passo 3
Agora, vamos expressar cada vetor de lado em termos dos vetores de posição. Por exemplo, o vetor pode ser escrito como . Mas como nossos vetores de referência são e , precisamos relacionar com eles.
Passo 4
Em um hexágono regular, os vetores de posição dos vértices têm uma relação de simetria. Podemos expressar cada um deles como combinações lineares de e . Por exemplo:
pode ser escrito como uma combinação de e .
O mesmo vale para .
Passo 5
No entanto, ao somar todos os vetores dos lados , percebemos que estamos somando um ciclo completo no hexágono. Geometricamente, isso significa que voltamos ao ponto de partida, ou seja, a soma total é o vetor nulo.
Passo 6
Matematicamente, a soma dos vetores de um polígono fechado sempre resulta no vetor nulo, pois cada passo para frente é anulado por um passo para trás. Então: