Sendo ABCDEF um hexágono regular, como no exercício anterior. Expresse os seguintes vetores em função dos vetores A B+B C+C D+D E+E F+F A
Passo 1
Vamos lá! Temos um hexágono regular chamado ABCDEF. Queremos encontrar a soma dos vetores AB + BC + CD + DE + EF + FA. Para isso, vamos usar os vetores OD e OE, que partem do centro O até os pontos D e E. Vamos precisar entender como relacionar os vetores dos lados do hexágono com esses vetores centrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um hexágono regular, todos os lados têm o mesmo comprimento e os ângulos internos são iguais. Além disso, os vetores que ligam o centro aos vértices são chamados de vetores de posição. No nosso caso, OD e OE são esses vetores de posição para os vértices D e E.
Passo 3
Agora, vamos expressar cada vetor de lado em termos dos vetores de posição. Por exemplo, o vetor AB pode ser escrito como B - A. Mas como nossos vetores de referência são OD e OE, precisamos relacionar A, B, C, dots com eles.
Passo 4
Em um hexágono regular, os vetores de posição dos vértices têm uma relação de simetria. Podemos expressar cada um deles como combinações lineares de OD e OE. Por exemplo:
A pode ser escrito como uma combinação de OD e OE.
O mesmo vale para B, C, dots, F.
Passo 5
No entanto, ao somar todos os vetores dos lados AB + BC + CD + DE + EF + FA, percebemos que estamos somando um ciclo completo no hexágono. Geometricamente, isso significa que voltamos ao ponto de partida, ou seja, a soma total é o vetor nulo.
Passo 6
Matematicamente, a soma dos vetores de um polígono fechado sempre resulta no vetor nulo, pois cada passo para frente é anulado por um passo para trás. Então: