Se um projétil é lançado com uma velocidade inicial de v0 metros por segundo num ângulo alpha acima da horizontal e assumindo que a resistência do ar é desprezível, então a posição depois de t segundos é dada pelas equações paramétricas
x = (v0 * cos(alpha)) * t y = (v0 * sen(alpha)) * t - (1/2) * g * t^2
onde g é a aceleração da gravidade ( 9.8 m/s^2 ).
Se uma arma for disparada com alpha = 30 graus e v0 = 500 m/s, quando a bala atingirá o solo? A que distância da arma a bala atingirá o solo? Qual a altura máxima alcançada pela bala?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento de projéteis! Temos uma bala sendo disparada com uma velocidade inicial de em um ângulo de acima da horizontal. Vamos usar as equações do movimento parabólico para achar:
  1. Quando a bala atinge o solo (tempo total de voo).
  2. A distância horizontal que a bala percorre até atingir o solo.
  3. A altura máxima que a bala alcança.
Para isso, vamos precisar das fórmulas das posições e em função do tempo :
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar quando a bala atinge o solo, ou seja, quando a posição vertical é igual a zero.
Podemos fatorar :
Isso nos dá duas soluções:
  1. segundos (o momento do disparo).
Vamos resolver a segunda equação para encontrar o tempo total de voo.

Passo 3

Resolvendo para :
Isolando :
Agora, substituímos os valores dados:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância horizontal que a bala percorre até atingir o solo. Usamos a equação de :
Substituindo os valores:
Sabemos que , então:

Passo 5

Por último, vamos descobrir a altura máxima que a bala alcança. A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero. Usamos a equação da posição vertical , mas para facilitar, podemos usar a fórmula da altura máxima:
Substituindo os valores:

Resposta

A bala atinge o solo após aproximadamente 51,02 segundos, percorre uma distância horizontal de 22.035 metros e alcança uma altura máxima de cerca de 3.188 metros.

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