Seja F=1|X|^2 X|X|=X|X|^3, sendo X=(x, y, z) e |X|=raizx^2+y^2+z^2.
(16.1) Mostre que integral duplaS F cdot d S=4 pi, se S é uma superfície fechada que não contém a origem em seu interior
(16.2) Mostre que integral duplaS F cdot d S=0, se S é uma superfície fechada que contém a origem em seu interior e tem vetores normais apontando para fora
(16.3) Prove a Lei de Gauss para o campo elétrico E=k q X|X|^mid, devido a uma carga q no interior da superfície S(integral duplaS F cdot d S=4 k pi q). E se a carga q não estivesse no interior de S ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial , onde e . A questão quer que a gente calcule a integral de superfície para diferentes tipos de superfícies fechadas . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente a Lei de Gauss (ou Teorema da Divergência).

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa calcular . Isso é chamado de fluxo do campo através da superfície . A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar esse fluxo com a divergência do campo dentro da superfície.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial Fx = x(x^2 + y^2 + z^2)^3/2, Fy = y(x^2 + y^2 + z^2)^3/2, Fz = z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 é dada por:
No nosso caso, , então:
Vamos calcular a divergência.

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
partial Fxpartial x = (x^2 + y^2 + z^2)^3/2 - x cdot 32(x^2 + y^2 + z^2)^1/2 cdot 2x(x^2 + y^2 + z^2)^3 = dots
Após simplificar, a divergência resulta em zero quando .

Passo 5

Agora, pela Lei de Gauss, sabemos que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Como fora da origem, se a superfície não contém a origem, o fluxo será zero.

Passo 6

No entanto, se a superfície contiver a origem, precisamos considerar a singularidade em . Nesse caso, o fluxo pode ser diferente de zero. De fato, para o campo , o fluxo através de uma superfície fechada envolvendo a origem é .

Resposta

Portanto:
  1. Se é uma superfície fechada que não contém a origem, então .
  2. Se é uma superfície fechada que contém a origem com vetores normais apontando para fora, então .
  3. A Lei de Gauss para o campo elétrico devido a uma carga no interior da superfície é . Se a carga não estiver no interior de , então .

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