Seja
, sendo
e
.
(16.1) Mostre que
, se
é uma superfície fechada que não contém a origem em seu interior
(16.2) Mostre que
, se
é uma superfície fechada que contém a origem em seu interior e tem vetores normais apontando para fora
(16.3) Prove a Lei de Gauss para o campo elétrico
, devido a uma carga
no interior da superfície
. E se a carga
não estivesse no interior de
?
(16.1) Mostre que
(16.2) Mostre que
(16.3) Prove a Lei de Gauss para o campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
, onde
e
. A questão quer que a gente calcule a integral de superfície
para diferentes tipos de superfícies fechadas
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente a Lei de Gauss (ou Teorema da Divergência).
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa calcular
. Isso é chamado de fluxo do campo
através da superfície
. A Lei de Gauss nos ajuda a relacionar esse fluxo com a divergência do campo
dentro da superfície.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Vamos calcular a divergência.
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
Após simplificar, a divergência
resulta em zero quando
.
Passo 5
Agora, pela Lei de Gauss, sabemos que:
Como
fora da origem, se a superfície
não contém a origem, o fluxo será zero.
Passo 6
No entanto, se a superfície
contiver a origem, precisamos considerar a singularidade em
. Nesse caso, o fluxo pode ser diferente de zero. De fato, para o campo
, o fluxo através de uma superfície fechada envolvendo a origem é
.
Resposta
Portanto:
- Se
é uma superfície fechada que não contém a origem, então . - Se
é uma superfície fechada que contém a origem com vetores normais apontando para fora, então . - A Lei de Gauss para o campo elétrico
devido a uma carga no interior da superfície é . Se a carga não estiver no interior de , então .