Considere a matriz A=[rrr1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1]. Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal P tais que D=P^-1 A P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas matrizes, uma diagonal D e uma matriz ortogonal P, tal que D = P^-1 A P. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz A, além de garantir que os vetores próprios sejam ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Valores próprios são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante de A - lambda I:
A - lambda I = 1 - lambda & -2 & 0 -2 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda
O determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(-1 - lambda) - (-2)(-2)(-1 - lambda) = 0
Simplificando, encontramos os valores próprios lambda = 3, lambda = -1, e lambda = -1.

Passo 3

Agora, vamos achar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para lambda = 3, resolvemos (A - 3I)v = 0:
-2 & -2 & 0 -2 & -2 & 0 0 & 0 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá as soluções v1 = v2 e v3 = 0. Um vetor próprio normalizado pode ser v1 = 1raiz2 1 1 0 .
Para lambda = -1, resolvemos (A + I)v = 0:
2 & -2 & 0 -2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá v1 = v2 e v3 é livre. Então, podemos escolher dois vetores próprios:
v2 = 1raiz2 1 -1 0
v3 = 0 0 1

Passo 4

Agora que temos os vetores próprios, vamos construir a matriz P usando esses vetores como colunas. Como P precisa ser ortogonal, os vetores devem ser mutuamente ortogonais e de norma 1, o que já é satisfeito pelas escolhas que fizemos. Então, temos:
P = 1raiz2 & 1raiz2 & 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

A matriz diagonal D será formada pelos valores próprios que encontramos, na mesma ordem dos vetores próprios em P. Então:
D = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A matriz diagonal D e a matriz ortogonal P que satisfazem D = P^-1 A P são:
P = 1raiz2 & 1raiz2 & 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 0 & 0 & 1 , D = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & -1

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