Considere a matriz . Encontre uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal P tais que D=P^-1 A P.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar duas matrizes, uma diagonal D e uma matriz ortogonal P, tal que D = P^-1 A P. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios da matriz A, além de garantir que os vetores próprios sejam ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz A. Valores próprios são números lambda que satisfazem a equação det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade. Vamos calcular o determinante de A - lambda I:
Isso nos dá as soluções v1 = v2 e v3 = 0. Um vetor próprio normalizado pode ser v1 = 1raiz2 1 1 0 .
Para lambda = -1, resolvemos (A + I)v = 0:
2 & -2 & 0 -2 & 2 & 0 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Isso nos dá v1 = v2 e v3 é livre. Então, podemos escolher dois vetores próprios:
v2 = 1raiz2 1 -1 0
v3 = 0 0 1
Passo 4
Agora que temos os vetores próprios, vamos construir a matriz P usando esses vetores como colunas. Como P precisa ser ortogonal, os vetores devem ser mutuamente ortogonais e de norma 1, o que já é satisfeito pelas escolhas que fizemos. Então, temos: