Considere R^3 munido do produto interno usual. Seja B=v1, v2, v3 uma base ortonormal de R^3 e T: R^3 R^3 um operador ortogonal. Determine os possíveis valores de T(v3) sabendo que T(v1)=(1 / raiz2, 0,1 / raiz2) e T(v2)=(0,1,0).

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui: estamos no espaço tridimensional R^3 com o produto interno padrão. Temos uma base ortonormal B = v1, v2, v3 e um operador ortogonal T. Sabemos como T age sobre v1 e v2, e precisamos descobrir quais são os possíveis vetores que T pode associar a v3. Para isso, vamos usar as propriedades dos operadores ortogonais e das bases ortonormais.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que um operador ortogonal preserva o produto interno. Isso significa que, se T é ortogonal, então para quaisquer vetores u e v em R^3, temos:
lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<=
Isso garante que as normas e os ângulos entre os vetores são mantidos após a aplicação de T.

Passo 3

Como B é uma base ortonormal e T é ortogonal, as imagens dos vetores da base por T também formam uma base ortonormal. Ou seja, os vetores T(v1), T(v2) e T(v3) são todos ortogonais entre si e têm norma igual a 1.

Passo 4

Sabemos que:
T(v1) = ( dfrac1raiz2, 0, dfrac1raiz2 )
T(v2) = (0, 1, 0)
Queremos encontrar T(v3) de modo que ele seja ortogonal a ambos T(v1) e T(v2) e que tenha norma 1.

Passo 5

Vamos supor que:
T(v3) = (a, b, c)
Para que T(v3) seja ortogonal a T(v1) e T(v2), devemos ter:
lang<= T(v3), T(v1) rang<= = 0
lang<= T(v3), T(v2) rang<= = 0
E também:
|T(v3)| = 1

Passo 6

Calculando o produto interno com T(v1):
lang<= T(v3), T(v1) rang<= = a cdot dfrac1raiz2 + b cdot 0 + c cdot dfrac1raiz2 = dfraca + craiz2 = 0
Isso implica que:
a + c = 0 Rightarrow c = -a

Passo 7

Calculando o produto interno com T(v2):
lang<= T(v3), T(v2) rang<= = a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 0 = b = 0
Portanto, b = 0.

Passo 8

Agora, usamos a condição da norma:
|T(v3)| = raiza^2 + b^2 + c^2 = 1
Substituindo b = 0 e c = -a:
raiza^2 + 0 + (-a)^2 = raiz2a^2 = |a| raiz2 = 1
Isso nos dá:
|a| = dfrac1raiz2 Rightarrow a = pm dfrac1raiz2

Passo 9

Finalmente, substituímos os valores de a para encontrar c:
  • Se a = dfrac1raiz2, então c = -dfrac1raiz2
  • Se a = -dfrac1raiz2, então c = dfrac1raiz2
Portanto, os possíveis valores para T(v3) são:
T(v3) = ( dfrac1raiz2, 0, -dfrac1raiz2 ) ou T(v3) = ( -dfrac1raiz2, 0, dfrac1raiz2 )

Resposta

Os possíveis valores de T(v3) são ( dfrac1raiz2, 0, -dfrac1raiz2 ) e ( -dfrac1raiz2, 0, dfrac1raiz2 ).

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