Considere
munido do produto interno usual. Seja
uma base ortonormal de
e
um operador ortogonal. Determine os possíveis valores de
sabendo que
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui: estamos no espaço tridimensional
com o produto interno padrão. Temos uma base ortonormal
e um operador ortogonal
. Sabemos como
age sobre
e
, e precisamos descobrir quais são os possíveis vetores que
pode associar a
. Para isso, vamos usar as propriedades dos operadores ortogonais e das bases ortonormais.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que um operador ortogonal preserva o produto interno. Isso significa que, se
é ortogonal, então para quaisquer vetores
e
em
, temos:
Isso garante que as normas e os ângulos entre os vetores são mantidos após a aplicação de
.
Passo 3
Como
é uma base ortonormal e
é ortogonal, as imagens dos vetores da base por
também formam uma base ortonormal. Ou seja, os vetores
,
e
são todos ortogonais entre si e têm norma igual a 1.
Passo 4
Sabemos que:
Queremos encontrar
de modo que ele seja ortogonal a ambos
e
e que tenha norma 1.
Passo 5
Vamos supor que:
Para que
seja ortogonal a
e
, devemos ter:
E também:
Passo 6
Calculando o produto interno com
:
Isso implica que:
Passo 7
Calculando o produto interno com
:
Portanto,
.
Passo 8
Agora, usamos a condição da norma:
Substituindo
e
:
Isso nos dá:
Passo 9
Finalmente, substituímos os valores de
para encontrar
:
- Se
, então - Se
, então
Portanto, os possíveis valores para
são:
Resposta
Os possíveis valores de
são
e
.