Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Seja T: V V um operador linear ortogonal de um espaço vetorial real V, então seus autovalores só podem ser 1 ou -1 .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear ortogonal T: V V em um espaço vetorial real V. A afirmação é que os autovalores de T só podem ser 1 ou -1. Para resolver, vamos entender o que são operadores ortogonais e autovalores, e ver se essa afirmativa sempre é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, um operador linear ortogonal é aquele que preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores u, v em V, temos lang<= T(u), T(v) rang<= = lang<= u, v rang<=. Isso implica que T é uma transformação que mantém os ângulos e as magnitudes dos vetores.

Passo 3

Agora, sobre autovalores: um autovalor lambda de T é um número tal que existe um vetor não nulo v onde T(v) = lambda v. Ou seja, v é “esticado” ou “encolhido” por T por um fator lambda.

Passo 4

Para operadores ortogonais, sabemos que os autovalores têm módulo igual a 1. Isso porque T preserva as magnitudes dos vetores. Mas isso não significa que os autovalores têm que ser somente 1 ou -1.

Passo 5

Vamos pensar em um exemplo simples: uma rotação no plano. Considere a matriz de rotação
R(theta) = costheta & -sintheta sintheta & costheta
Esse operador é ortogonal porque R(theta)^T R(theta) = I. Mas os autovalores de R(theta) são complexos: e^itheta e e^-itheta, que não são 1 nem -1, a menos que theta seja 0 ou 180 graus.

Passo 6

Portanto, nem todo operador linear ortogonal tem autovalores que são apenas 1 ou -1. Dependendo da transformação, especialmente em espaços de dimensão maior que dois ou em rotações, podemos ter autovalores diferentes.

Resposta

A afirmação é falsa. Por exemplo, uma rotação no plano com ângulo diferente de 0 ou 180 graus é um operador linear ortogonal cujos autovalores não são 1 nem -1.

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