Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Seja
um operador linear ortogonal de um espaço vetorial real
, então seus autovalores só podem ser 1 ou -1 .
Seja
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear ortogonal
em um espaço vetorial real
. A afirmação é que os autovalores de
só podem ser
ou
. Para resolver, vamos entender o que são operadores ortogonais e autovalores, e ver se essa afirmativa sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, um operador linear ortogonal é aquele que preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores
em
, temos
. Isso implica que
é uma transformação que mantém os ângulos e as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Agora, sobre autovalores: um autovalor
de
é um número tal que existe um vetor não nulo
onde
. Ou seja,
é “esticado” ou “encolhido” por
por um fator
.
Passo 4
Para operadores ortogonais, sabemos que os autovalores têm módulo igual a
. Isso porque
preserva as magnitudes dos vetores. Mas isso não significa que os autovalores têm que ser somente
ou
.
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo simples: uma rotação no plano. Considere a matriz de rotação
Esse operador é ortogonal porque
. Mas os autovalores de
são complexos:
e
, que não são
nem
, a menos que
seja
ou
graus.
Passo 6
Portanto, nem todo operador linear ortogonal tem autovalores que são apenas
ou
. Dependendo da transformação, especialmente em espaços de dimensão maior que dois ou em rotações, podemos ter autovalores diferentes.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, uma rotação no plano com ângulo diferente de
ou
graus é um operador linear ortogonal cujos autovalores não são
nem
.