Prove as afirmações verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
Seja um operador linear ortogonal de um espaço vetorial real , então seus autovalores só podem ser 1 ou -1 .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear ortogonal em um espaço vetorial real . A afirmação é que os autovalores de só podem ser ou . Para resolver, vamos entender o que são operadores ortogonais e autovalores, e ver se essa afirmativa sempre é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, um operador linear ortogonal é aquele que preserva o produto interno, ou seja, para todos os vetores em , temos . Isso implica que é uma transformação que mantém os ângulos e as magnitudes dos vetores.
Passo 3
Agora, sobre autovalores: um autovalor de é um número tal que existe um vetor não nulo onde . Ou seja, é “esticado” ou “encolhido” por por um fator .
Passo 4
Para operadores ortogonais, sabemos que os autovalores têm módulo igual a . Isso porque preserva as magnitudes dos vetores. Mas isso não significa que os autovalores têm que ser somente ou .
Passo 5
Vamos pensar em um exemplo simples: uma rotação no plano. Considere a matriz de rotação
Esse operador é ortogonal porque . Mas os autovalores de são complexos: e , que não são nem , a menos que seja ou graus.
Passo 6
Portanto, nem todo operador linear ortogonal tem autovalores que são apenas ou . Dependendo da transformação, especialmente em espaços de dimensão maior que dois ou em rotações, podemos ter autovalores diferentes.
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, uma rotação no plano com ângulo diferente de ou graus é um operador linear ortogonal cujos autovalores não são nem .