Seja
, com
e
, uma base ordenada de
. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, com o produto interno euclideano, em
para obter uma base ortonormal de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base
no espaço
com os vetores
,
e
. O objetivo é aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno euclidiano para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos encontrar vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base,
. No processo de Gram-Schmidt, o primeiro passo é simplesmente normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor da nossa nova base ortonormal.
Para normalizar, a gente divide o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma de
é calculada assim:
Então, o primeiro vetor ortonormal,
, fica:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor,
. A gente precisa garantir que
seja perpendicular a
. Para isso, subtraímos de
a projeção de
em
. A projeção é calculada da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o produto interno
:
Como
já é um vetor unitário,
. Então:
Agora, subtraímos essa projeção de
para obter
:
Finalmente, normalizamos
para obter
:
Passo 4
Por último, vamos trabalhar com o terceiro vetor,
. Precisamos garantir que
seja perpendicular a
e
. Para isso, subtraímos de
as projeções em
e
.
Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Depois, a projeção de
em
:
Agora, subtraímos essas projeções de
para obter
:
Vamos realizar a subtração componente a componente:
Agora, normalizamos
para obter
:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: