Seja B=v1, v2, v3, com v1=(1,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(0,1,1), uma base ordenada de R^3. Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, com o produto interno euclideano, em B para obter uma base ortonormal de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base no espaço com os vetores , e . O objetivo é aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno euclidiano para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos encontrar vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, |v1| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 . No processo de Gram-Schmidt, o primeiro passo é simplesmente normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor da nossa nova base ortonormal.
Para normalizar, a gente divide o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma de e1 = v1|v1| = ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) é calculada assim:
Então, o primeiro vetor ortonormal, , fica:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor, proje1 v2 = ( v2 cdot e1e1 cdot e1 ) e1 . A gente precisa garantir que v2 cdot e1 = 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0 = 1raiz2 seja perpendicular a proje1 v2 = 1raiz2 cdot ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ) = ( 12, 12, 0 ) . Para isso, subtraímos de u2 = v2 - proje1 v2 = (1, 0, 1) - ( 12, 12, 0 ) = ( 12, -12, 1 ) a projeção de |u2| = raiz(12)^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz32 = raiz62 em e2 = u2|u2| = ( 12raiz62, -12raiz62, 1raiz62 ) = ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ) . A projeção é calculada da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o produto interno :
Como já é um vetor unitário, . Então:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :
Finalmente, normalizamos para obter :

Passo 4

Por último, vamos trabalhar com o terceiro vetor, proje1 v3 = (v3 cdot e1) e1 = (0 cdot 1raiz2 + 1 cdot 1raiz2 + 1 cdot 0) e1 = 1raiz2 e1 = ( 12, 12, 0 ) . Precisamos garantir que proje2 v3 = (v3 cdot e2) e2 = (0 cdot 1raiz6 + 1 cdot (-1raiz6) + 1 cdot 2raiz6) e2 = 1raiz6 e2 = ( 16, -16, 26 ) seja perpendicular a u3 = v3 - proje1 v3 - proje2 v3 = (0,1,1) - (12, 12, 0) - (16, -16, 13) e u3 = (0 - 12 - 16, 1 - 12 + 16, 1 - 0 - 13) = (-23, 23, 23) . Para isso, subtraímos de |u3| = raiz(-23)^2 + (23)^2 + (23)^2 = raiz49 + 49 + 49 = raiz129 = 2raiz33 as projeções em e3 = u3|u3| = ( -232raiz33, 232raiz33, 232raiz33 ) = ( -1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) e .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Depois, a projeção de em :
Agora, subtraímos essas projeções de para obter :
Vamos realizar a subtração componente a componente:
Agora, normalizamos para obter :

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
Born = ( 1raiz2, 1raiz2, 0 ), ( 1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ), ( -1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )

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