Seja , com e , uma base ordenada de . Aplique o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, com o produto interno euclideano, em para obter uma base ortonormal de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma base no espaço com os vetores , e . O objetivo é aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt usando o produto interno euclidiano para transformar essa base em uma base ortonormal. Isso significa que vamos encontrar vetores que são todos perpendiculares entre si e com comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base, . No processo de Gram-Schmidt, o primeiro passo é simplesmente normalizar esse vetor para obter o primeiro vetor da nossa nova base ortonormal.
Para normalizar, a gente divide o vetor pelo seu comprimento (ou norma). A norma de é calculada assim:
Então, o primeiro vetor ortonormal, , fica:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor, . A gente precisa garantir que seja perpendicular a . Para isso, subtraímos de a projeção de em . A projeção é calculada da seguinte forma:
Primeiro, calculamos o produto interno :
Como já é um vetor unitário, . Então:
Agora, subtraímos essa projeção de para obter :
Finalmente, normalizamos para obter :

Passo 4

Por último, vamos trabalhar com o terceiro vetor, . Precisamos garantir que seja perpendicular a e . Para isso, subtraímos de as projeções em e .
Primeiro, calculamos a projeção de em :
Depois, a projeção de em :
Agora, subtraímos essas projeções de para obter :
Vamos realizar a subtração componente a componente:
Agora, normalizamos para obter :

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:

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Considere a matriz . Encontre uma matriz diagonal e uma matriz ortogonal tais que .
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Resolva a equação abaixo: