Verificar a posição relativas das retas abaixo:

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta r:
  • Reta s:
O objetivo é descobrir como essas duas retas estão posicionadas em relação uma à outra. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre retas e suas posições relativas, como serem paralelas, coincidentes, se elas se cruzam ou se são chamadas de “espaçadas” (não coplanares e não se cruzam).

Passo 2

Primeiro, precisamos representar as duas retas de uma forma que facilite a comparação. A reta r já está na forma paramétrica:
Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor da reta r.
Para a reta s, vamos converter a equação para a forma paramétrica também. A equação dada é:
Vamos chamar cada parte dessa igualdade de :
Dessa forma, podemos expressar , e em termos de :
Então, a reta s na forma paramétrica fica:

Passo 3

Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, vamos comparar os vetores diretores e os pontos de passagem.
A reta r tem vetor diretor e passa pelo ponto . A reta s tem o mesmo vetor diretor e passa pelo ponto .
Como os vetores diretores das duas retas são iguais, isso indica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para determinar se as retas são paralelas ou coincidentes, precisamos verificar se elas compartilham pelo menos um ponto em comum. Ou seja, se existe um valor de que satisfaz as equações de ambas as retas ao mesmo tempo.
Vamos igualar as equações das duas retas:
Isso resulta em:
Simplificando:
Para que isso seja verdade para algum e , o vetor deve ser múltiplo do vetor diretor .
Se isso não acontecer, as retas são paralelas e distintas.

Passo 5

Assumindo que a reta r passa por um ponto P específico, precisaríamos desse ponto para continuar a verificação. Como não foi fornecido, vamos considerar que P não coincide com . Portanto, as retas têm o mesmo vetor diretor, mas não compartilham pontos em comum.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas, ou seja, elas não se intersectam e mantêm a mesma direção.

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