Verificar a posição relativas das retas abaixo:
(r): X=P+t(3,-4,2) e (s): x+23=y-3-4=z-12

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta r:
  • Reta s:
O objetivo é descobrir como essas duas retas estão posicionadas em relação uma à outra. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre retas e suas posições relativas, como serem paralelas, coincidentes, se elas se cruzam ou se são chamadas de “espaçadas” (não coplanares e não se cruzam).

Passo 2

Primeiro, precisamos representar as duas retas de uma forma que facilite a comparação. A reta r já está na forma paramétrica:
X = P + t(3, -4, 2)
Aqui, x + 23 = y - 3-4 = z - 12 é um ponto na reta e t = x + 23 = y - 3-4 = z - 12 é o vetor diretor da reta r.
Para a reta s, vamos converter a equação para a forma paramétrica também. A equação dada é:
x = -2 + 3t
Vamos chamar cada parte dessa igualdade de y = 3 - 4t :
z = 1 + 2t
Dessa forma, podemos expressar X = (-2, 3, 1) + t(3, -4, 2) , e em termos de :
Então, a reta s na forma paramétrica fica:

Passo 3

Agora que temos as duas retas na forma paramétrica, vamos comparar os vetores diretores e os pontos de passagem.
A reta r tem vetor diretor e passa pelo ponto . A reta s tem o mesmo vetor diretor e passa pelo ponto .
Como os vetores diretores das duas retas são iguais, isso indica que as retas são paralelas ou coincidentes.

Passo 4

Para determinar se as retas são paralelas ou coincidentes, precisamos verificar se elas compartilham pelo menos um ponto em comum. Ou seja, se existe um valor de P + t(3, -4, 2) = (-2, 3, 1) + s(3, -4, 2) que satisfaz as equações de ambas as retas ao mesmo tempo.
Vamos igualar as equações das duas retas:
P - (-2, 3, 1) = s(3, -4, 2) - t(3, -4, 2)
Isso resulta em:
P + (2, -3, -1) = (s - t)(3, -4, 2)
Simplificando:
Para que isso seja verdade para algum e , o vetor deve ser múltiplo do vetor diretor .
Se isso não acontecer, as retas são paralelas e distintas.

Passo 5

Assumindo que a reta r passa por um ponto P específico, precisaríamos desse ponto para continuar a verificação. Como não foi fornecido, vamos considerar que P não coincide com . Portanto, as retas têm o mesmo vetor diretor, mas não compartilham pontos em comum.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas, ou seja, elas não se intersectam e mantêm a mesma direção.

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