Considere as matrizes:
A=[ll 2 & x y & 1 ] e B=[cc 4 & -3 x 14-y & 2 ]
Calcule x e y de tal modo que: A+A^t=B.
Resposta: x=-2 e y=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes, A e B, e precisa encontrar os valores de e de forma que a soma da matriz com a sua transposta seja igual à matriz . Para isso, vamos usar conceitos de matriz e transposição. Vamos precisar saber como somar matrizes e como transpor uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz A = 2 & x y & 1 , denotada por A^t = 2 & y x & 1 , é formada trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que estava na posição (i, j) passa para (j, i).
Dada a matriz :
A transposta será:

Passo 3

Agora, vamos somar a matriz A + A^t = 2 & x y & 1 + 2 & y x & 1 = 2+2 & x+y y+x & 1+1 = 4 & x+y x+y & 2 com sua transposta :

Passo 4

Sabemos que B = 4 & -3x 14 - y & 2 deve ser igual à matriz x + y = -3x x + 3x + y = 0 4x + y = 0 (Equação A) :
x + y = 14 - y x + y + y = 14 x + 2y = 14 (Equação B)
Então, igualando as correspondentes posições das matrizes:
  1. 4x + y = 0 (Equação A) x + 2y = 14 (Equação B) (essa já está ok)
  2. y = -4x
  3. x + 2(-4x) = 14 x - 8x = 14 -7x = 14 x = -2
  4. 4(-2) + y = 0 -8 + y = 0 y = 8 (essa também está ok)
Vamos resolver as equações 2 e 3:
Da equação 2:
çã
Da equação 3:
çã
Agora, temos um sistema de equações:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos isolar na Equação A:
Substituindo na Equação B:
Agora, substituindo na Equação A:

Resposta

e .

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