Defina a hipérbole e deduza a fórmula reduzida da hipérbole de centro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício que pede para definir o que é uma hipérbole e, depois, deduzir a sua fórmula reduzida quando o centro está na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, que estuda figuras geométricas através de equações no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma hipérbole. Imagine que você tem dois pontos fixos, chamados de focos. A hipérbole é o conjunto de todos os pontos no plano tal que a diferença das distâncias desses pontos aos dois focos é sempre constante. É como se fosse um lugar onde essa diferença não muda, independente de onde você estiver nesse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos deduzir a fórmula reduzida da hipérbole com centro na origem . Para isso, vamos seguir alguns passos:
Escolher os focos: Vamos posicionar os focos ao longo do eixo x, simetricamente em relação à origem. Então, os focos serão e , onde é uma constante positiva.
Definir a constante: A constante que define a diferença das distâncias aos focos será , onde é uma outra constante positiva. Ou seja, para qualquer ponto na hipérbole, a equação é:
Simplificar a equação: Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
Expandir os termos: Ao expandir e simplificar os termos, após alguns passos algébricos, chegamos na relação:
Aqui, está relacionado com e pela relação .
Resposta
A fórmula reduzida da hipérbole com centro na origem é: