Defina a hipérbole e deduza a fórmula reduzida da hipérbole de centro (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício que pede para definir o que é uma hipérbole e, depois, deduzir a sua fórmula reduzida quando o centro está na origem, ou seja, no ponto (0,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, que estuda figuras geométricas através de equações no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma hipérbole. Imagine que você tem dois pontos fixos, chamados de focos. A hipérbole é o conjunto de todos os pontos no plano tal que a diferença das distâncias desses pontos aos dois focos é sempre constante. É como se fosse um lugar onde essa diferença não muda, independente de onde você estiver nesse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos deduzir a fórmula reduzida da hipérbole com centro na origem (0,0). Para isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Escolher os focos: Vamos posicionar os focos ao longo do eixo x, simetricamente em relação à origem. Então, os focos serão (c,0) e (-c,0), onde c é uma constante positiva.
  2. Definir a constante: A constante que define a diferença das distâncias aos focos será 2a, onde a é uma outra constante positiva. Ou seja, para qualquer ponto (x,y) na hipérbole, a equação é:
    | raiz(x-c)^2 + y^2 - raiz(x+c)^2 + y^2 | = 2a
  3. Simplificar a equação: Para simplificar, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar as raízes:
    ( raiz(x-c)^2 + y^2 - raiz(x+c)^2 + y^2 )^2 = (2a)^2
  4. Expandir os termos: Ao expandir e simplificar os termos, após alguns passos algébricos, chegamos na relação:
    x^2a^2 - y^2b^2 = 1
    Aqui, b está relacionado com c e a pela relação c^2 = a^2 + b^2.

Resposta

A fórmula reduzida da hipérbole com centro na origem é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

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