Mostrar que são subespaços vetoriais de Mn(R) os seguintes subconjuntos
a. S=A in Mn(R) mid A^T=A
b. S=A in Mn(R) mid A B=B A, sendo B uma dada matriz em Mn(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas situações onde precisamos mostrar que certos conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de , que é o conjunto de todas as matrizes com entradas reais. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de espaco vetorial, que envolve verificar três coisas fundamentais: se o conjunto contém a matriz zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Parte a: (A + B)^T = A^T + B^T = A + B

Primeiro, vamos entender o que é (cA)^T = cA^T = cA . Esse conjunto consiste em todas as matrizes simétricas, ou seja, matrizes que são iguais à sua transposta.
1. Verificar se a matriz zero está em 0 cdot B = 0 = B cdot 0 :
A matriz zero (A + C)B = AB + CB = BA + BC = B(A + C) tem todas as entradas iguais a zero, e sua transposta também é a matriz zero. Então, (cA)B = c(AB) = c(BA) = B(cA) , logo .
2. Verificar se é fechado sob adição:
Pegamos duas matrizes e em . Isso significa que e .
Queremos ver se :
Então, .
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz e um escalar .
Queremos ver se :
Então, .

Parte b: , onde é uma matriz fixa em

Agora, é o conjunto de matrizes que comutam com uma matriz fixa .
1. Verificar se a matriz zero está em :
Multiplicando a matriz zero por :
Então, .
2. Verificar se é fechado sob adição:
Pegamos duas matrizes e em . Isso significa que e .
Queremos ver se :
Então, .
3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz e um escalar .
Queremos ver se :
Então, .

Resposta

Sim, tanto o conjunto de matrizes simétricas quanto o conjunto , onde é uma matriz fixa, são subespaços vetoriais de .

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