Mostrar que são subespaços vetoriais de
os seguintes subconjuntos
a.
b.
, sendo
uma dada matriz em
.
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas situações onde precisamos mostrar que certos conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. Para fazer isso, vamos usar os conceitos de espaco vetorial, que envolve verificar três coisas fundamentais: se o conjunto contém a matriz zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Parte a:
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto consiste em todas as matrizes simétricas, ou seja, matrizes que são iguais à sua transposta.
1. Verificar se a matriz zero está em
:
A matriz zero
tem todas as entradas iguais a zero, e sua transposta também é a matriz zero. Então,
, logo
.
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Pegamos duas matrizes
e
em
. Isso significa que
e
.
Queremos ver se
:
Então,
.
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz
e um escalar
.
Queremos ver se
:
Então,
.
Parte b:
, onde
é uma matriz fixa em
Agora,
é o conjunto de matrizes que comutam com uma matriz fixa
.
1. Verificar se a matriz zero está em
:
Multiplicando a matriz zero por
:
Então,
.
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Pegamos duas matrizes
e
em
. Isso significa que
e
.
Queremos ver se
:
Então,
.
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Pegamos uma matriz
e um escalar
.
Queremos ver se
:
Então,
.
Resposta
Sim, tanto o conjunto de matrizes simétricas
quanto o conjunto
, onde
é uma matriz fixa, são subespaços vetoriais de
.