1. Considere a matriz da transformação T :
    [T]
    =[lll2 & 0 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0]
    c,d) De os autovalores e autovetores de T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de transformação [T] = 2 & 0 & 0 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 dada por:
O objetivo aqui é encontrar os autovalores e os autovetores dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como determinar os valores e vetores que, quando a matriz os transforma, apenas escalona o vetor sem mudar sua direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( det(T - lambda I) = 0 ) de . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 3

Vamos montar a matriz T - lambda I = 2 - lambda & 0 & 0 1 & -lambda & 1 1 & 1 & -lambda :
det(T - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -lambda & 1 1 & -lambda - 0 + 0
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
= (2 - lambda) cdot [(-lambda)(-lambda) - (1)(1)]
= (2 - lambda)(lambda^2 - 1)

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(lambda^2 - 1) = 0
Isso nos dá as soluções:
2 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 2
lambda^2 - 1 = 0 Rightarrow lambda = 1 ou lambda = -1
Então, os autovalores são , e .

Passo 5

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada T - 2I = 0 & 0 & 0 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 . Para cada autovalor, resolvemos a equação 0x + 0y + 0z = 0 x - 2y + z = 0 x + y - 2z = 0 , onde 2y - z + y - 2z = 0 Rightarrow 3y - 3z = 0 Rightarrow y = z é o autovetor.

Para 1 1 1:

Montamos T - I = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 :
x = 0 x - y + z = 0 x + y - z = 0
Resolvemos o sistema:
0 - y + z = 0 Rightarrow z = y
Da segunda equação: 0 + y - z = 0 Rightarrow y = z
Substituindo na terceira equação:
0 1 1
Então, T + I = 3 & 0 & 0 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 . Portanto, os autovetores são da forma 3x = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 , onde 0 1 -1 é um escalar.

Para :

Montamos :
Resolvemos o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo nas demais:
Portanto, , e . Os autovetores são da forma , onde é um escalar.

Para :

Montamos :
Resolvemos o sistema:
Da primeira equação:
E das outras duas, temos , ou seja, . Os autovetores são da forma , onde é um escalar.

Resposta

Os autovalores de 1 1 1 são 0 1 1, 0 1 -1 e . Correspondentes a cada autovalor, os autovetores são:
  • Para : qualquer múltiplo de
  • Para : qualquer múltiplo de
  • Para : qualquer múltiplo de

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