Seja
um subespaço vetorial de um espaço vetorial
. Classifique cada afirmativa abaixo em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
a. Se
e
, então
.
b. Se
e
, então
.
a. Se
b. Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço vetorial
de um espaço vetorial
. A questão pede para a gente dizer se duas afirmações são verdadeiras ou falsas, explicando o porquê. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como ele se comporta com a soma e multiplicação de vetores.
Passo 2
Vamos analisar a afirmativa a: “Se
e
, então
.”
Primeiro, lembre-se que um subespaço vetorial
precisa ser fechado sob a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se
e
estão dentro de
, então
também está em
.
Mas a afirmação está falando do contrário: se
e
não estão em
. Será que a soma desses vetores também não está em
?
Na verdade, isso não é necessariamente verdade. Mesmo que
e
não estejam em
, a soma deles pode estar em
. Por exemplo, considere
como o eixo x no plano
. Se
e
, ambos não estão em
, mas
também não está. Porém, se escolhermos
e
, a soma
que está em
.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmativa b: “Se
e
, então
.”
Aqui, consideramos a multiplicação de um vetor
que não está em
por um escalar
diferente de zero. Como
é um subespaço vetorial, ele é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que se
estivesse em
, então
também estaria em
(dividindo por
, já que
). Mas como
não está em
, então
também não está em
.
Resposta
a. Falso. Mesmo que
e
não estejam em
, a soma
pode ou não estar em
.
b. Verdadeiro. Se
não está em
e
, então
também não está em
.