Seja S um subespaço vetorial de um espaço vetorial V. Classifique cada afirmativa abaixo em verdadeiro ou falso, justificando sua resposta.
a. Se u notin S e v notin S, então u+v notin S.
b. Se u notin S e alpha neq 0, então alpha u notin S.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um subespaço vetorial de um espaço vetorial . A questão pede para a gente dizer se duas afirmações são verdadeiras ou falsas, explicando o porquê. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como ele se comporta com a soma e multiplicação de vetores.

Passo 2

Vamos analisar a afirmativa a: “Se e , então .”
Primeiro, lembre-se que um subespaço vetorial precisa ser fechado sob a soma de vetores e a multiplicação por escalar. Isso significa que se e estão dentro de , então também está em .
Mas a afirmação está falando do contrário: se e não estão em . Será que a soma desses vetores também não está em ?
Na verdade, isso não é necessariamente verdade. Mesmo que e não estejam em , a soma deles pode estar em . Por exemplo, considere como o eixo x no plano . Se e , ambos não estão em , mas também não está. Porém, se escolhermos e , a soma que está em .

Passo 3

Agora, vamos para a afirmativa b: “Se e , então .”
Aqui, consideramos a multiplicação de um vetor que não está em por um escalar diferente de zero. Como é um subespaço vetorial, ele é fechado na multiplicação por escalar. Isso significa que se estivesse em , então também estaria em (dividindo por , já que ). Mas como não está em , então também não está em .

Resposta

a. Falso. Mesmo que e não estejam em , a soma pode ou não estar em .
b. Verdadeiro. Se não está em e , então também não está em .

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