De as coordenadas dos focos da cônica
a) 2 x^2=3 y^2-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas dos focos da cônica dada pela equação . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de cônicas, especificamente da hipérbole. Primeiro, precisamos colocar essa equação numa forma mais conhecida para identificar os parâmetros que nos ajudarão a achar os focos.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar nossa vida. Começamos com:
2x^2 = 3y^2 - 6
Vamos trazer tudo para o mesmo lado da igualdade:
2x^2 - 3y^2 + 6 = 0
Agora, isolemos os termos com 2x^2 - 3y^2 = -6 e :

Passo 3

Para deixar a equação na forma padrão da hipérbole, dividimos todos os termos por -26x^2 + 36y^2 = 1:
-13x^2 + 12y^2 = 1
Simplificando as frações:
13x^2 - 12y^2 = -1
Multiplicando todos os termos por y^22 - x^23 = 1 para facilitar:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Rearranjando para a forma padrão da hipérbole:
a^2 = 2 e b^2 = 3
Agora, sabemos que essa é a equação de uma hipérbole vertical, onde:
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 4

Para encontrar os focos da hipérbole, usamos a fórmula:
c = raiza^2 + b^2
Substituindo os valores que encontramos:
c = raiz2 + 3 = raiz5
Como a hipérbole é vertical, os focos ficam no eixo , nas coordenadas e .

Resposta

Os focos da cônica são e .

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