Considere A A uma matriz 2 x 2. Se tr(A)=8 e det(A)=12, quais são os autovalores de A ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada 2x2, a matriz A, e sabemos que a traça dela, que é a soma dos elementos da diagonal principal, é igual a 8. Além disso, o determinante dessa matriz é 12. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa matriz, que são valores especiais que mostram como a matriz age em certas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz, a gente precisa resolver a equação característica. Para uma matriz 2x2, essa equação é dada por:
lambda^2 - tr(A) cdot lambda + det(A) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores que queremos encontrar, tr(A) é a traça da matriz A, e det(A) é o determinante dela.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente conhece na equação característica. Sabemos que tr(A) = 8 e det(A) = 12. Então, a equação fica:
lambda^2 - 8lambda + 12 = 0
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, a = 1, b = -8 e c = 12. Vamos calcular o discriminante primeiro:
De
Como De é positivo, teremos duas soluções reais:
lambda = 8 pm raiz162 = 8 pm 42
Portanto:
lambda1 = 8 + 42 = 6 e lambda2 = 8 - 42 = 2

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda1 = 6 e lambda2 = 2.

Exercícios relacionados