Considere A A uma matriz 2 x 2. Se
e
, quais são os autovalores de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz quadrada 2x2, a matriz A, e sabemos que a traça dela, que é a soma dos elementos da diagonal principal, é igual a 8. Além disso, o determinante dessa matriz é 12. Nosso objetivo aqui é encontrar os autovalores dessa matriz, que são valores especiais que mostram como a matriz age em certas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz, a gente precisa resolver a equação característica. Para uma matriz 2x2, essa equação é dada por:
Aqui,
representa os autovalores que queremos encontrar,
é a traça da matriz A, e
é o determinante dela.
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que a gente conhece na equação característica. Sabemos que
e
. Então, a equação fica:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Vamos calcular o discriminante primeiro:
Como
é positivo, teremos duas soluções reais:
Portanto:
Resposta
Os autovalores da matriz A são
e
.