Encontre a equação característica de cada matriz:
[rr3 & -8 2 & 3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada. Esse assunto faz parte da Álgebra Linear, e para isso vamos precisar entender o que é equação característica e aprender a calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre equação característica. Ela é usada para encontrar os autovalores de uma matriz, que são valores importantes para entender propriedades da matriz. A equação característica é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, é a matriz que estamos analisando, representa os autovalores, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 3 & -8 2 & 3 . Nossa matriz I = 1 & 0 0 & 1 é:
lambda I = lambda & 0 0 & lambda
A matriz identidade A - lambda I = 3 - lambda & -8 2 & 3 - lambda de ordem 2 é:
Então, multiplicamos por :
Agora subtraímos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz resultante. Para uma matriz 2x2 como essa, o determinante é calculado assim:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda) - (-8)(2)
Fazendo as contas:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)^2 + 16

Passo 5

Montamos a equação característica igualando o determinante a zero:
(3 - lambda)^2 + 16 = 0
Vamos simplificar:
(3 - lambda)^2 = -16
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
3 - lambda = pm 4i
Isolando lambda = 3 pm 4i :

Resposta

A equação característica da matriz é , cujo resultado são os autovalores .

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