Encontre a equação característica de cada matriz:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação característica da matriz dada. Esse assunto faz parte da Álgebra Linear, e para isso vamos precisar entender o que é equação característica e aprender a calcular o determinante de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre equação característica. Ela é usada para encontrar os autovalores de uma matriz, que são valores importantes para entender propriedades da matriz. A equação característica é dada por:
Aqui, é a matriz que estamos analisando, representa os autovalores, e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . Nossa matriz é:
A matriz identidade de ordem 2 é:
Então, multiplicamos por :
Agora subtraímos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz resultante. Para uma matriz 2x2 como essa, o determinante é calculado assim:
Fazendo as contas:

Passo 5

Montamos a equação característica igualando o determinante a zero:
Vamos simplificar:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Isolando :

Resposta

A equação característica da matriz é , cujo resultado são os autovalores .

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Encontre a equação característica de cada matriz:
Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
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