Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de GaussJordan :
c 2 x1+x2+5 x3+3 x4=11 x1+2 x2+4 x3=7 3 x1+3 x2+9 x3+x4=16 c x1+2 x2+x3+x4+3 x5=6 2 x1+4 x2+x3+3 x5=5 x1+2 x2+2 x4+3 x5=5 c 3 x1+6 x2+2 x3+11 x4+x5+10 x6=14 2 x1+4 x2+x3+7 x4+x5+7 x6=9 x1+2 x2++3 x4++x6=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses sistemas de equações usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a matriz das equações em uma forma mais simples. Vamos precisar organizar as equações em matrizes aumentadas e aplicar operações de linha para chegar às soluções.

Passo 2

Primeiro Sistema:
2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 = 11 x1 + 2x2 + 4x3 = 7 3x1 + 3x2 + 9x3 + x4 = 16
Vamos montar a matriz aumentada:
2 & 1 & 5 & 3 & | & 11 1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 3 & 3 & 9 & 1 & | & 16

Passo 3

Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos trocar a primeira e a segunda linha:
1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 2 & 1 & 5 & 3 & | & 11 3 & 3 & 9 & 1 & | & 16

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 0 & -3 & -3 & 3 & | & -3 0 & -3 & -3 & 1 & | & -5

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -3:
1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 0 & 1 & 1 & -1 & | & 1 0 & -3 & -3 & 1 & | & -5

Passo 6

Em seguida, zeramos o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 * Linha2
1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 0 & 1 & 1 & -1 & | & 1 0 & 0 & 0 & -2 & | & -2

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -2:
1 & 2 & 4 & 0 & | & 7 0 & 1 & 1 & -1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 8

Agora que temos a matriz em forma escalonada reduzida, podemos voltar às equações:
  1. x1 + 2x2 + 4x3 = 7
  2. x2 + x3 - x4 = 1
  3. x4 = 1

Passo 9

Substituímos x4 = 1 na segunda equação:
x2 + x3 - 1 = 1 x2 + x3 = 2

Passo 10

Agora, substituímos x2 + x3 = 2 na primeira equação:
x1 + 2(2 - x3) + 4x3 = 7 x1 + 4 - 2x3 + 4x3 = 7 x1 + 2x3 = 3 x1 = 3 - 2x3

Passo 11

Portanto, o sistema tem infinitas soluções, expressas em função de x3:
x1 = 3 - 2x3 x2 = 2 - x3 x4 = 1 x3 é livre é

Passo 12

Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações:
x1 + 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 6 2x1 + 4x2 + x3 + 3x5 = 5 x1 + 2x2 + 2x4 + 3x5 = 5
Vamos montar a matriz aumentada:
1 & 2 & 1 & 1 & 3 & | & 6 2 & 4 & 1 & 0 & 3 & | & 5 1 & 2 & 0 & 2 & 3 & | & 5

Passo 13

Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - Linha1
1 & 2 & 1 & 1 & 3 & | & 6 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & | & -7 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & | & -1

Passo 14

Agora, observamos que as duas últimas linhas são semelhantes. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para simplificar:
Linha3 = Linha3 - Linha2
1 & 2 & 1 & 1 & 3 & | & 6 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & | & -7 0 & 0 & 0 & 3 & 3 & | & 6

Passo 15

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 3:
1 & 2 & 1 & 1 & 3 & | & 6 0 & 0 & -1 & -2 & -3 & | & -7 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & | & 2

Passo 16

Agora, voltamos às equações:
  1. x1 + 2x2 + x3 + x4 + 3x5 = 6
  2. -x3 - 2x4 - 3x5 = -7
  3. x4 + x5 = 2

Passo 17

Da terceira equação, podemos expressar x4 em função de x5:
x4 = 2 - x5

Passo 18

Substituímos x4 = 2 - x5 na segunda equação:
-x3 - 2(2 - x5) - 3x5 = -7 -x3 -4 + 2x5 -3x5 = -7 -x3 -4 -x5 = -7 -x3 -x5 = -3 x3 + x5 = 3

Passo 19

Agora, substituímos x4 = 2 - x5 e x3 = 3 - x5 na primeira equação:
x1 + 2x2 + (3 - x5) + (2 - x5) + 3x5 = 6
Simplificando:
x1 + 2x2 + 3 - x5 + 2 - x5 + 3x5 = 6
x1 + 2x2 + 5 + x5 = 6
x1 + 2x2 + x5 = 1

Passo 20

Agora, podemos expressar x1 em função de x2 e x5:
x1 = 1 - 2x2 - x5

Passo 21

Portanto, as soluções do sistema são expressas em termos de x2 e x5, que são variáveis livres:
x1 = 1 - 2s - t x2 = s x3 = 3 - t x4 = 2 - t x5 = t
onde s e t são números reais quaisquer.

Passo 22

Finalmente, vamos resolver o terceiro sistema de equações:
3x1 + 6x2 + 2x3 + 11x4 + x5 + 10x6 = 14 2x1 + 4x2 + x3 + 7x4 + x5 + 7x6 = 9 x1 + 2x2 + 3x4 + x6 = 3
Vamos montar a matriz aumentada:
3 & 6 & 2 & 11 & 1 & 10 & | & 14 2 & 4 & 1 & 7 & 1 & 7 & | & 9 1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & | & 3

Passo 23

Primeiro, queremos ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha. Para isso, podemos trocar a primeira e a terceira linha:
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & | & 3 2 & 4 & 1 & 7 & 1 & 7 & | & 9 3 & 6 & 2 & 11 & 1 & 10 & | & 14

Passo 24

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 5 & | & 3 0 & 0 & 2 & 2 & 1 & 7 & | & 5

Passo 25

Agora, queremos ter um 1 na segunda posição da segunda linha. Como já temos um 1 na posição (2,3), vamos usar isso para zerar o elemento abaixo. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 5 & | & 3 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -3 & | & -1

Passo 26

Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando por -1:
1 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & | & 3 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 5 & | & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & | & 1

Passo 27

Voltando às equações:
  1. x1 + 2x2 + 3x4 + x6 = 3
  2. x3 + x4 + x5 + 5x6 = 3
  3. x5 + 3x6 = 1

Passo 28

Da terceira equação, podemos expressar x5 em função de x6:
x5 = 1 - 3x6

Passo 29

Substituímos x5 = 1 - 3x6 na segunda equação:
x3 + x4 + (1 - 3x6) + 5x6 = 3 x3 + x4 +1 +2x6 =3 x3 + x4 + 2x6 =2

Passo 30

Agora, temos:
  1. x1 + 2x2 + 3x4 + x6 = 3
  2. x3 + x4 + 2x6 =2
  3. x5 =1 -3x6
Podemos escolher x2 e x6 como variáveis livres, já que não temos mais equações para elas.

Passo 31

Expressamos as variáveis em termos de x2 e x6:
Da primeira equação:
x1 = 3 - 2x2 -3x4 -x6
Da segunda equação:
x3 = 2 - x4 -2x6
E já temos x5 =1 -3x6

Passo 32

Podemos optar por expressar x4 em função de x6 ou deixá-lo como variável livre. Para simplificação, vamos escolher x4 como variável livre também, mas para manter apenas duas variáveis livres, mantemos x2 e x6 como livres.
Então, organizando as soluções:
x1 = 3 - 2x2 -3x4 -x6 x2 = s x3 = 2 - x4 -2x6 x4 = t x5 =1 -3x6 x6 = u
Mas para simplificar, vamos assumir x4 como função de x6 ou vice-versa. Para manter duas variáveis livres, mantemos x2 e x6 como livres e expressamos x4 em termos de x6.

Passo 33

Finalizando, temos:
x1 = 3 - 2s -3t -u x2 = s x3 = 2 - t -2u x4 = t x5 =1 -3u x6 = u
onde s e u são números reais quaisquer.

Resposta

As soluções do terceiro sistema são:
x1 = 3 - 2s -3t -u x2 = s x3 = 2 - t -2u x4 = t x5 =1 -3u x6 = u
onde s e u são números reais quaisquer.

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