Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de GaussJordan :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses sistemas de equações usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a matriz das equações em uma forma mais simples. Vamos precisar organizar as equações em matrizes aumentadas e aplicar operações de linha para chegar às soluções.

Passo 2

Primeiro Sistema:
Vamos montar a matriz aumentada:

Passo 3

Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos trocar a primeira e a segunda linha:

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -3:

Passo 6

Em seguida, zeramos o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 * Linha2

Passo 7

Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -2:

Passo 8

Agora que temos a matriz em forma escalonada reduzida, podemos voltar às equações:

Passo 9

Substituímos na segunda equação:

Passo 10

Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 11

Portanto, o sistema tem infinitas soluções, expressas em função de :
é

Passo 12

Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações:
Vamos montar a matriz aumentada:

Passo 13

Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - Linha1

Passo 14

Agora, observamos que as duas últimas linhas são semelhantes. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para simplificar:
Linha3 = Linha3 - Linha2

Passo 15

Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 3:

Passo 16

Agora, voltamos às equações:

Passo 17

Da terceira equação, podemos expressar em função de :

Passo 18

Substituímos na segunda equação:

Passo 19

Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:

Passo 20

Agora, podemos expressar em função de e :

Passo 21

Portanto, as soluções do sistema são expressas em termos de e , que são variáveis livres:
onde e são números reais quaisquer.

Passo 22

Finalmente, vamos resolver o terceiro sistema de equações:
Vamos montar a matriz aumentada:

Passo 23

Primeiro, queremos ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha. Para isso, podemos trocar a primeira e a terceira linha:

Passo 24

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1

Passo 25

Agora, queremos ter um 1 na segunda posição da segunda linha. Como já temos um 1 na posição (2,3), vamos usar isso para zerar o elemento abaixo. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2

Passo 26

Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando por -1:

Passo 27

Voltando às equações:

Passo 28

Da terceira equação, podemos expressar em função de :

Passo 29

Substituímos na segunda equação:

Passo 30

Agora, temos:
Podemos escolher e como variáveis livres, já que não temos mais equações para elas.

Passo 31

Expressamos as variáveis em termos de e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
E já temos

Passo 32

Podemos optar por expressar em função de ou deixá-lo como variável livre. Para simplificação, vamos escolher como variável livre também, mas para manter apenas duas variáveis livres, mantemos e como livres.
Então, organizando as soluções:
Mas para simplificar, vamos assumir como função de ou vice-versa. Para manter duas variáveis livres, mantemos e como livres e expressamos em termos de .

Passo 33

Finalizando, temos:
onde e são números reais quaisquer.

Resposta

As soluções do terceiro sistema são:
onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados

Considere os planos e
.
Determine , em cada caso, para que os planos e sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.
Considere as matrizes A e b abaixo:
Resolva o sistema de equações lineares , utilizando o método de Gauss-Jordan.
Mostre que o conjunto das matrizes triangulares inferiores e o conjunto das matrizes triangulares superiores são subespaços vetoriais de , que e que não se tem .