Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de GaussJordan :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses sistemas de equações usando o método de eliminação de Gauss-Jordan. Esse método ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a matriz das equações em uma forma mais simples. Vamos precisar organizar as equações em matrizes aumentadas e aplicar operações de linha para chegar às soluções.
Passo 2
Primeiro Sistema:
Vamos montar a matriz aumentada:
Passo 3
Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos trocar a primeira e a segunda linha:
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por -3:
Passo 6
Em seguida, zeramos o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Para isso, adicionamos 3 vezes a segunda linha à terceira linha:
Linha3 = Linha3 + 3 * Linha2
Passo 7
Agora, vamos simplificar a terceira linha dividindo por -2:
Passo 8
Agora que temos a matriz em forma escalonada reduzida, podemos voltar às equações:
Passo 9
Substituímos na segunda equação:
→
Passo 10
Agora, substituímos na primeira equação:
→ → →
Passo 11
Portanto, o sistema tem infinitas soluções, expressas em função de :
é
Passo 12
Agora, vamos resolver o segundo sistema de equações:
Vamos montar a matriz aumentada:
Passo 13
Primeiro, queremos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1, o que já está feito. Agora, vamos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e subtraímos a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - Linha1
Passo 14
Agora, observamos que as duas últimas linhas são semelhantes. Vamos subtrair a segunda linha da terceira para simplificar:
Linha3 = Linha3 - Linha2
Passo 15
Vamos simplificar a terceira linha dividindo por 3:
Passo 16
Agora, voltamos às equações:
Passo 17
Da terceira equação, podemos expressar em função de :
Passo 18
Substituímos na segunda equação:
→ → → →
Passo 19
Agora, substituímos e na primeira equação:
Simplificando:
Passo 20
Agora, podemos expressar em função de e :
Passo 21
Portanto, as soluções do sistema são expressas em termos de e , que são variáveis livres:
onde e são números reais quaisquer.
Passo 22
Finalmente, vamos resolver o terceiro sistema de equações:
Vamos montar a matriz aumentada:
Passo 23
Primeiro, queremos ter um 1 no primeiro elemento da primeira linha. Para isso, podemos trocar a primeira e a terceira linha:
Passo 24
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha e 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
Passo 25
Agora, queremos ter um 1 na segunda posição da segunda linha. Como já temos um 1 na posição (2,3), vamos usar isso para zerar o elemento abaixo. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2
Passo 26
Agora, vamos simplificar a terceira linha multiplicando por -1:
Passo 27
Voltando às equações:
Passo 28
Da terceira equação, podemos expressar em função de :
Passo 29
Substituímos na segunda equação:
→ →
Passo 30
Agora, temos:
Podemos escolher e como variáveis livres, já que não temos mais equações para elas.
Passo 31
Expressamos as variáveis em termos de e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
E já temos
Passo 32
Podemos optar por expressar em função de ou deixá-lo como variável livre. Para simplificação, vamos escolher como variável livre também, mas para manter apenas duas variáveis livres, mantemos e como livres.
Então, organizando as soluções:
Mas para simplificar, vamos assumir como função de ou vice-versa. Para manter duas variáveis livres, mantemos e como livres e expressamos em termos de .