Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
c) se o espaço-linhas está contido em , qual o valor de ?
Passo 1
Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de matrizes lá de Álgebra Linear. A questão pede pra gente, para cada uma das matrizes dadas, descobrir se o espaço-linhas está contido em um espaço , e identificar qual é esse valor de . Basicamente, vamos entender o tamanho mínimo do espaço necessário para acomodar todas as linhas da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço-linhas. O espaço-linhas de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas linhas. A dimensão desse espaço, chamada de posto da matriz, nos diz quantas linhas são linearmente independentes, ou seja, quantas linhas “diferentes” a matriz tem. Esse número vai determinar nosso valor de .
Passo 3
Vamos analisar cada matriz uma por uma.
Matriz i)
Primeiro, colocamos a matriz em forma escalonada usando operações elementares. Isso nos ajuda a identificar as linhas independentes.
Após algumas operações, descobrimos que há 2 linhas que não são combinações das outras. Então, o posto dessa matriz é 2.
Então, o espaço-linhas está contido em .
Matriz ii)
Novamente, colocamos em forma escalonada. Depois de simplificar, vemos que há 2 linhas independentes.
Portanto, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em .
Matriz iii)
Fazendo as operações, percebemos que há 2 linhas independentes.
Logo, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em .
Matriz iv)
Após escalar a matriz, identificamos que todas as 3 linhas são independentes.
Então, o posto é 3, e o espaço-linhas está contido em .
Resposta
Para cada matriz, o espaço-linhas está contido em: