Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
c) se o espaço-linhas está contido em , qual o valor de ?

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de matrizes lá de Álgebra Linear. A questão pede pra gente, para cada uma das matrizes dadas, descobrir se o espaço-linhas está contido em um espaço , e identificar qual é esse valor de . Basicamente, vamos entender o tamanho mínimo do espaço necessário para acomodar todas as linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço-linhas. O espaço-linhas de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas linhas. A dimensão desse espaço, chamada de posto da matriz, nos diz quantas linhas são linearmente independentes, ou seja, quantas linhas “diferentes” a matriz tem. Esse número vai determinar nosso valor de .

Passo 3

Vamos analisar cada matriz uma por uma.

Matriz i)

Primeiro, colocamos a matriz em forma escalonada usando operações elementares. Isso nos ajuda a identificar as linhas independentes.
Após algumas operações, descobrimos que há 2 linhas que não são combinações das outras. Então, o posto dessa matriz é 2.
Então, o espaço-linhas está contido em .

Matriz ii)

Novamente, colocamos em forma escalonada. Depois de simplificar, vemos que há 2 linhas independentes.
Portanto, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em .

Matriz iii)

Fazendo as operações, percebemos que há 2 linhas independentes.
Logo, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em .

Matriz iv)

Após escalar a matriz, identificamos que todas as 3 linhas são independentes.
Então, o posto é 3, e o espaço-linhas está contido em .

Resposta

Para cada matriz, o espaço-linhas está contido em:
  • i)
  • ii)
  • iii)
  • iv)

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