Considere as matrizes abaixo:
i) [ccccc-3 & 6 & -1 & 1 & -7 1 & -2 & 2 & 3 & -1 2 & -4 & 5 & 8 & -4]
ii) [cccc2 & 4 & -2 & 1 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & 6]
iii) [lll1 & 4 & 2 2 & 5 & 1 3 & 6 & 0]
iv) [lll1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 0]
Para cada matriz determine:
c) se o espaço-linhas está contido em R^k, qual o valor de k ?

Passo 1

Beleza, galera! A gente vai resolver um exercício de matrizes lá de Álgebra Linear. A questão pede pra gente, para cada uma das matrizes dadas, descobrir se o espaço-linhas está contido em um espaço R^k, e identificar qual é esse valor de k. Basicamente, vamos entender o tamanho mínimo do espaço necessário para acomodar todas as linhas da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço-linhas. O espaço-linhas de uma matriz é o conjunto de todas as combinações lineares das suas linhas. A dimensão desse espaço, chamada de posto da matriz, nos diz quantas linhas são linearmente independentes, ou seja, quantas linhas “diferentes” a matriz tem. Esse número vai determinar nosso valor de k.

Passo 3

Vamos analisar cada matriz uma por uma.

Matriz i)

-3 & 6 & -1 & 1 & -7 1 & -2 & 2 & 3 & -1 2 & -4 & 5 & 8 & -4
Primeiro, colocamos a matriz em forma escalonada usando operações elementares. Isso nos ajuda a identificar as linhas independentes.
Após algumas operações, descobrimos que há 2 linhas que não são combinações das outras. Então, o posto dessa matriz é 2.
Então, o espaço-linhas está contido em R^2.

Matriz ii)

2 & 4 & -2 & 1 -2 & -5 & 7 & 3 3 & 7 & -8 & 6
Novamente, colocamos em forma escalonada. Depois de simplificar, vemos que há 2 linhas independentes.
Portanto, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em R^2.

Matriz iii)

1 & 4 & 2 2 & 5 & 1 3 & 6 & 0
Fazendo as operações, percebemos que há 2 linhas independentes.
Logo, o posto é 2, e o espaço-linhas está contido em R^2.

Matriz iv)

1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 2 & 1 & 0
Após escalar a matriz, identificamos que todas as 3 linhas são independentes.
Então, o posto é 3, e o espaço-linhas está contido em R^3.

Resposta

Para cada matriz, o espaço-linhas está contido em:
  • i) R^2
  • ii) R^2
  • iii) R^2
  • iv) R^3

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