Encontre um operador linear F: R^2 R^2, tal que F(1,2)=(1,1) e que seja um isomorfismo. Determine a matriz do operador linear F (que você encontrou) em relação à base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que transforma o vetor no vetor . Além disso, esse operador tem que ser um isomorfismo, ou seja, tem que ser invertível. Por fim, vamos determinar a matriz desse operador na base canônica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, matrizes e determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear F(v) = Av pode ser representada por uma matriz tal que para qualquer vetor em , temos:
Nossa missão é encontrar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que a & b c & d . Vamos escrever isso em termos de matriz. Se A 1 2 = 1 1 , então:
a cdot 1 + b cdot 2 c cdot 1 + d cdot 2 = 1 1
Fazendo a multiplicação, temos:
a + 2b = 1 c + 2d = 1
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, então temos infinitas soluções. Para encontrar uma matriz específica, vamos escolher valores para algumas variáveis. Vamos decidir que 0 + 2b = 1 implies b = 12 . Então, da primeira equação:
c = 1 - 2d
Agora, vamos para a segunda equação. Precisamos que a matriz seja um isomorfismo, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Primeiro, vamos expressar em termos de :

Passo 5

Para garantir que o determinante det(A) = a cdot d - b cdot c = 0 cdot d - 12(1 - 2d) = -12 + d , temos:
c = 1 - 2(0) = 1
Queremos que , ou seja, . Vamos escolher para simplificar. Então:

Passo 6

Agora temos todos os valores para a matriz A = 0 & 12 1 & 0 :
det(A) = 0 cdot 0 - 12 cdot 1 = -12 neq 0
Vamos verificar se o determinante é diferente de zero:
Ótimo! Isso confirma que é invertível e, portanto, é um isomorfismo.

Resposta

A matriz do operador linear 0 & dfrac12 1 & 0 na base canônica é:

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