Encontre um operador linear , tal que e que seja um isomorfismo. Determine a matriz do operador linear (que você encontrou) em relação à base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que transforma o vetor no vetor . Além disso, esse operador tem que ser um isomorfismo, ou seja, tem que ser invertível. Por fim, vamos determinar a matriz desse operador na base canônica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, matrizes e determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que para qualquer vetor em , temos:
Nossa missão é encontrar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que . Vamos escrever isso em termos de matriz. Se , então:
Fazendo a multiplicação, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, então temos infinitas soluções. Para encontrar uma matriz específica, vamos escolher valores para algumas variáveis. Vamos decidir que . Então, da primeira equação:
Agora, vamos para a segunda equação. Precisamos que a matriz seja um isomorfismo, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Primeiro, vamos expressar em termos de :

Passo 5

Para garantir que o determinante , temos:
Queremos que , ou seja, . Vamos escolher para simplificar. Então:

Passo 6

Agora temos todos os valores para a matriz :
Vamos verificar se o determinante é diferente de zero:
Ótimo! Isso confirma que é invertível e, portanto, é um isomorfismo.

Resposta

A matriz do operador linear na base canônica é:

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Se A é uma matriz e se , pode-se afirmar que:
b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio ?
Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
c) se o espaço-linhas está contido em , qual o valor de ?
(g) Qual é a diferença entre Operador Nilpotente e Operador Idempotente?
(f)