Encontre um operador linear
, tal que
e que seja um isomorfismo. Determine a matriz do operador linear
(que você encontrou) em relação à base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear
que transforma o vetor
no vetor
. Além disso, esse operador tem que ser um isomorfismo, ou seja, tem que ser invertível. Por fim, vamos determinar a matriz desse operador na base canônica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, matrizes e determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear
pode ser representada por uma matriz
tal que para qualquer vetor
em
, temos:
Nossa missão é encontrar essa matriz
.
Passo 3
Sabemos que
. Vamos escrever isso em termos de matriz. Se
, então:
Fazendo a multiplicação, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, então temos infinitas soluções. Para encontrar uma matriz específica, vamos escolher valores para algumas variáveis. Vamos decidir que
. Então, da primeira equação:
Agora, vamos para a segunda equação. Precisamos que a matriz seja um isomorfismo, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Passo 5
Para garantir que o determinante
, temos:
Queremos que
, ou seja,
. Vamos escolher
para simplificar. Então:
Passo 6
Agora temos todos os valores para a matriz
:
Vamos verificar se o determinante é diferente de zero:
Ótimo! Isso confirma que
é invertível e, portanto,
é um isomorfismo.
Resposta
A matriz do operador linear
na base canônica é: