Encontre um operador linear , tal que e que seja um isomorfismo. Determine a matriz do operador linear (que você encontrou) em relação à base canônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um operador linear que transforma o vetor no vetor . Além disso, esse operador tem que ser um isomorfismo, ou seja, tem que ser invertível. Por fim, vamos determinar a matriz desse operador na base canônica. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transformações lineares, matrizes e determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear pode ser representada por uma matriz tal que para qualquer vetor em , temos:
Nossa missão é encontrar essa matriz .
Passo 3
Sabemos que . Vamos escrever isso em termos de matriz. Se , então:
Fazendo a multiplicação, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Esse sistema tem mais incógnitas do que equações, então temos infinitas soluções. Para encontrar uma matriz específica, vamos escolher valores para algumas variáveis. Vamos decidir que . Então, da primeira equação:
Agora, vamos para a segunda equação. Precisamos que a matriz seja um isomorfismo, ou seja, que o determinante seja diferente de zero. Primeiro, vamos expressar em termos de :
Passo 5
Para garantir que o determinante , temos:
Queremos que , ou seja, . Vamos escolher para simplificar. Então:
Passo 6
Agora temos todos os valores para a matriz :
Vamos verificar se o determinante é diferente de zero:
Ótimo! Isso confirma que é invertível e, portanto, é um isomorfismo.