Determine a, b in R de modo que a projeção ortogonal do segmento A B sobre a reta x-2 y=1 seja o segmento C D, onde C=(1,0), D=(3,1), A=(0, a) e B=(1, b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores de e de forma que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de vetores em retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vetores envolvidos. O vetor AB = B - A = (1 - 0, b - a) = (1, b - a) é dado por:
CD = D - C = (3 - 1, 1 - 0) = (2, 1)
E o vetor é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor diretor da reta x - 2y = 1 Rightarrow y = 12x - 12 . Para isso, podemos reescrever a equação da reta na forma u = (2, 1) :
O coeficiente angular indica que o vetor diretor é proporcional a . Assim, podemos tomar o vetor diretor como:

Passo 4

A projeção ortogonal de um vetor Proju v = ( v cdot uu cdot u ) u sobre um vetor Proju AB = ( (1, b - a) cdot (2, 1)(2, 1) cdot (2, 1) ) (2, 1) é dada pela fórmula:
AB cdot u = 1 times 2 + (b - a) times 1 = 2 + b - a
Aplicando isso ao vetor u cdot u = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 e ao vetor diretor Proju AB = ( 2 + b - a5 ) (2, 1) = ( 2(2 + b - a)5, 2 + b - a5 ) , temos:
Calculando os produtos escalares:
Então:

Passo 5

Sabemos que a projeção 2(2 + b - a)5 = 2 e 2 + b - a5 = 1 deve ser igual ao vetor 2(2 + b - a)5 = 2 Rightarrow 2(2 + b - a) = 10 Rightarrow 4 + 2b - 2a = 10 Rightarrow 2b - 2a = 6 Rightarrow b - a = 3 (1) . Então, igualando as componentes:
2 + b - a5 = 1 Rightarrow 2 + b - a = 5 Rightarrow b - a = 3 (2)
Vamos resolver essas equações.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Notamos que ambas as equações nos dão a mesma relação: .

Passo 6

Para encontrar valores específicos de e , precisamos de mais informações. Observando o ponto e , sabemos que é o segmento entre esses pontos. Já que a projeção de sobre a reta resulta em , podemos igualar as coordenadas finais.
Sabemos que e . A diferença corresponde à projeção.
Como já temos , podemos escolher, por exemplo, , então . Mas para confirmar, vamos verificar.

Resposta

Os valores que satisfazem as condições do exercício são e .

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