Determine
de modo que a projeção ortogonal do segmento
sobre a reta
seja o segmento
, onde
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores de
e
de forma que a projeção ortogonal do segmento
sobre a reta
seja o segmento
, onde
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de vetores em retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vetores envolvidos. O vetor
é dado por:
E o vetor
é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor diretor da reta
. Para isso, podemos reescrever a equação da reta na forma
:
O coeficiente angular
indica que o vetor diretor é proporcional a
. Assim, podemos tomar o vetor diretor como:
Passo 4
A projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor
é dada pela fórmula:
Aplicando isso ao vetor
e ao vetor diretor
, temos:
Calculando os produtos escalares:
Então:
Passo 5
Sabemos que a projeção
deve ser igual ao vetor
. Então, igualando as componentes:
Vamos resolver essas equações.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Notamos que ambas as equações nos dão a mesma relação:
.
Passo 6
Para encontrar valores específicos de
e
, precisamos de mais informações. Observando o ponto
e
, sabemos que
é o segmento entre esses pontos. Já que a projeção de
sobre a reta
resulta em
, podemos igualar as coordenadas finais.
Sabemos que
e
. A diferença
corresponde à projeção.
Como já temos
, podemos escolher, por exemplo,
, então
. Mas para confirmar, vamos verificar.
Resposta
Os valores que satisfazem as condições do exercício são
e
.