Determine de modo que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores de e de forma que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de vetores em retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vetores envolvidos. O vetor é dado por:
E o vetor é:
Passo 3
Agora, precisamos determinar o vetor diretor da reta . Para isso, podemos reescrever a equação da reta na forma :
O coeficiente angular indica que o vetor diretor é proporcional a . Assim, podemos tomar o vetor diretor como:
Passo 4
A projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor é dada pela fórmula:
Aplicando isso ao vetor e ao vetor diretor , temos:
Calculando os produtos escalares:
Então:
Passo 5
Sabemos que a projeção deve ser igual ao vetor . Então, igualando as componentes:
Vamos resolver essas equações.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Notamos que ambas as equações nos dão a mesma relação: .
Passo 6
Para encontrar valores específicos de e , precisamos de mais informações. Observando o ponto e , sabemos que é o segmento entre esses pontos. Já que a projeção de sobre a reta resulta em , podemos igualar as coordenadas finais.
Sabemos que e . A diferença corresponde à projeção.
Como já temos , podemos escolher, por exemplo, , então . Mas para confirmar, vamos verificar.
Resposta
Os valores que satisfazem as condições do exercício são e .