Determine de modo que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os valores de e de forma que a projeção ortogonal do segmento sobre a reta seja o segmento , onde , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre projeção de vetores em retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vetores envolvidos. O vetor é dado por:
E o vetor é:

Passo 3

Agora, precisamos determinar o vetor diretor da reta . Para isso, podemos reescrever a equação da reta na forma :
O coeficiente angular indica que o vetor diretor é proporcional a . Assim, podemos tomar o vetor diretor como:

Passo 4

A projeção ortogonal de um vetor sobre um vetor é dada pela fórmula:
Aplicando isso ao vetor e ao vetor diretor , temos:
Calculando os produtos escalares:
Então:

Passo 5

Sabemos que a projeção deve ser igual ao vetor . Então, igualando as componentes:
Vamos resolver essas equações.
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Notamos que ambas as equações nos dão a mesma relação: .

Passo 6

Para encontrar valores específicos de e , precisamos de mais informações. Observando o ponto e , sabemos que é o segmento entre esses pontos. Já que a projeção de sobre a reta resulta em , podemos igualar as coordenadas finais.
Sabemos que e . A diferença corresponde à projeção.
Como já temos , podemos escolher, por exemplo, , então . Mas para confirmar, vamos verificar.

Resposta

Os valores que satisfazem as condições do exercício são e .

Exercícios relacionados

Seja a mediatriz do segmento , onde e . Determine pontos de modo que seja um quadrado.
Dados os pontos e a reta 4, determine tal que o vetor seja a projeção ortogonal do vetor sobre .
Seja o paralelogramo , cujas diagonais são perpendiculares e se cortam no ponto . Se e o comprimento de lado é igual a , determine os outros vértices de .
Considere as matrizes abaixo:
i)
ii)
iii)
iv)
Para cada matriz determine:
c) se o espaço-linhas está contido em , qual o valor de ?