Se A é uma matriz e se , pode-se afirmar que:
b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada de tamanho e que o determinante de , , não é zero. A pergunta é: isso significa que o espaço-linha e o espaço-coluna dessa matriz são todo o ?
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: determinante e espaço-linha/espaço-coluna.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir dos elementos da matriz e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz. Se o determinante de for diferente de zero (), isso significa que a matriz é inversível. Em outras palavras, existe uma matriz tal que , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o espaço-linha e o espaço-coluna.
Espaço-linha: É o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz .
Espaço-coluna: É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz .
Quando dizemos que esses espaços são iguais a , estamos afirmando que qualquer vetor em pode ser obtido como uma combinação linear das linhas ou colunas de .
Passo 4
Como o determinante de não é zero, isso significa que tem posto total, ou seja, o posto (rank) de é igual a . O posto de uma matriz é o número máximo de vetores linearmente independentes em suas linhas ou colunas.
Passo 5
Se o posto de é , isso implica que tanto as linhas quanto as colunas de são linearmente independentes e, portanto, suas combinações lineares preenchem todo o espaço . Ou seja, o espaço-linha e o espaço-coluna de são .
Resposta
Sim, o espaço-linha e o espaço-coluna de são o próprio .