Se A é uma matriz
e se
, pode-se afirmar que:
b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio
?
b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma matriz quadrada
de tamanho
e que o determinante de
,
, não é zero. A pergunta é: isso significa que o espaço-linha e o espaço-coluna dessa matriz são todo o
?
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais: determinante e espaço-linha/espaço-coluna.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante de uma matriz. O determinante é um número que podemos calcular a partir dos elementos da matriz e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz. Se o determinante de
for diferente de zero (
), isso significa que a matriz
é inversível. Em outras palavras, existe uma matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o espaço-linha e o espaço-coluna.
- Espaço-linha: É o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz
. - Espaço-coluna: É o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz
.
Quando dizemos que esses espaços são iguais a
, estamos afirmando que qualquer vetor em
pode ser obtido como uma combinação linear das linhas ou colunas de
.
Passo 4
Como o determinante de
não é zero, isso significa que
tem posto total, ou seja, o posto (rank) de
é igual a
. O posto de uma matriz é o número máximo de vetores linearmente independentes em suas linhas ou colunas.
Passo 5
Se o posto de
é
, isso implica que tanto as linhas quanto as colunas de
são linearmente independentes e, portanto, suas combinações lineares preenchem todo o espaço
. Ou seja, o espaço-linha e o espaço-coluna de
são
.
Resposta
Sim, o espaço-linha e o espaço-coluna de
são o próprio
.