Seja P o paralelogramo A B C D, cujas diagonais são perpendiculares e se cortam no ponto M=(2,2). Se A=(1,1) e o comprimento de lado A B é igual a raiz10, determine os outros vértices de P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo com diagonais que se cruzam perpendicularmente no ponto . Sabemos que o ponto está em e que o comprimento do lado é . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros vértices , e do paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente propriedades dos paralelogramos e das diagonais. Precisaremos entender que as diagonais de um paralelogramo se bissetam e como aplicar a condição de perpendicularidade entre elas. Também vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas propriedades de um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto de interseção M = ( x1 + x22, y1 + y22 ) é o ponto médio de ambas as diagonais (2,2) = ( 1 + xC2, 1 + yC2 ) e 1 + xC2 = 2 Rightarrow 1 + xC = 4 Rightarrow xC = 3 .
Sabemos que 1 + yC2 = 2 Rightarrow 1 + yC = 4 Rightarrow yC = 3 e . Então, podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas do ponto .
A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Como é o ponto médio de , temos:
Agora, podemos resolver para e :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos (2,2) = ( xB + xD2, yB + yD2 ) e xB + xD2 = 2 Rightarrow xB + xD = 4 .
Sabemos que o ponto yB + yD2 = 2 Rightarrow yB + yD = 4 também é o ponto médio da diagonal . Vamos chamar as coordenadas de de e as de de .
Usando novamente a fórmula do ponto médio:
Isso nos dá duas equações:
Vamos chamar essa Equação (1).

Passo 4

Além disso, sabemos que as diagonais são perpendiculares. Isso significa que o produto das inclinações das diagonais mAC = 3 - 13 - 1 = 22 = 1 e mAC times mBD = -1 Rightarrow 1 times mBD = -1 Rightarrow mBD = -1 é igual a .
Primeiro, vamos encontrar a inclinação de .
Pontos e :
Agora, vamos chamar a inclinação de de . Então:

Passo 5

A inclinação da diagonal mBD = yD - yBxD - xB = -1 é yD - yBxD - xB = -1 Rightarrow yD - yB = - (xD - xB) . Agora, precisamos relacionar isso com os pontos yD - yB = -xD + xB Rightarrow yD + xD = yB + xB e .
A inclinação também pode ser calculada como:
Então:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação de (2).

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. AB = raiz(xB - 1)^2 + (yB - 1)^2 = raiz10 e (xB - 1)^2 + (yB - 1)^2 = 10 (Equação 1)
  2. (xB)^2 - 2xB + 1 + (yB)^2 - 2yB + 1 = 10 (Equação 2)
Também sabemos que o comprimento do lado xB^2 + yB^2 - 2xB - 2yB + 2 = 10 é xB^2 + yB^2 - 2xB - 2yB = 8 .
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar e :
Ao elevar ambos os lados ao quadrado, temos:
Vamos expandir essa equação:
Vamos chamar essa Equação de (3).

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações que temos.
Primeiro, da Equação (1):
xB + xD = 4 (1a)
yB + yD = 4 (1b)
Da Equação (2):
yD + xD = yB + xB (2)
Podemos reescrever a Equação (2) usando (1a) e (1b):
(yD + xD) = (yB + xB)
Sabemos que (4 - yB) + (4 - xB) = yB + xB (da Equação 1a) e 8 - xB - yB = yB + xB (da Equação 1b). Substituindo na Equação (2):
8 = 2xB + 2yB
4 = xB + yB (4)
xB + yB = 4 (4)
xB^2 + yB^2 - 2xB - 2yB = 8 (3)
Agora, temos:
E a Equação (3):

Passo 8

Vamos usar a Equação (4) para simplificar a Equação (3).
Sabemos que xB^2 + (4 - xB)^2 - 2xB - 2(4 - xB) = 8 . Vamos expressar xB^2 + 16 - 8xB + xB^2 - 2xB - 8 + 2xB = 8 e substituir na Equação (3):
2xB^2 - 8xB + 8 = 8
Vamos expandir:
2xB^2 - 8xB = 0
Simplificando os termos:
2xB(xB - 4) = 0
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 9

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de 0 + yB = 4 Rightarrow yB = 4 para cada solução de 4 + yB = 4 Rightarrow yB = 0 .
Caso 1:
Usando :
Então, .
Caso 2:
Usando :
Então, .

Passo 10

Agora que temos duas possíveis coordenadas para xD = 4 - xB , vamos encontrar as coordenadas correspondentes de yD = 4 - yB usando as Equações (1a) e (1b):
xD = 4 - 0 = 4
yD = 4 - 4 = 0
Para xD = 4 - 4 = 0 :
yD = 4 - 0 = 4
Então, .
Para :
Então, .

Passo 11

Agora, temos duas possibilidades para o paralelogramo :
  1. , , ,
  2. , , ,
Ambas as configurações satisfazem as condições do problema: diagonais que se bissetam em , diagonais perpendiculares, e o comprimento de igual a .

Resposta

Os vértices do paralelogramo são:
ou

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