Seja
o paralelogramo
, cujas diagonais são perpendiculares e se cortam no ponto
. Se
e o comprimento de lado
é igual a
, determine os outros vértices de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo
com diagonais que se cruzam perpendicularmente no ponto
. Sabemos que o ponto
está em
e que o comprimento do lado
é
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros vértices
,
e
do paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente propriedades dos paralelogramos e das diagonais. Precisaremos entender que as diagonais de um paralelogramo se bissetam e como aplicar a condição de perpendicularidade entre elas. Também vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar as coordenadas dos vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas propriedades de um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto de interseção
é o ponto médio de ambas as diagonais
e
.
Sabemos que
e
. Então, podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas do ponto
.
A fórmula do ponto médio entre dois pontos
e
é:
Como
é o ponto médio de
, temos:
Agora, podemos resolver para
e
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
.
Sabemos que o ponto
também é o ponto médio da diagonal
. Vamos chamar as coordenadas de
de
e as de
de
.
Usando novamente a fórmula do ponto médio:
Isso nos dá duas equações:
Vamos chamar essa Equação (1).
Passo 4
Além disso, sabemos que as diagonais são perpendiculares. Isso significa que o produto das inclinações das diagonais
e
é igual a
.
Primeiro, vamos encontrar a inclinação de
.
Pontos
e
:
Agora, vamos chamar a inclinação de
de
. Então:
Passo 5
A inclinação da diagonal
é
. Agora, precisamos relacionar isso com os pontos
e
.
A inclinação
também pode ser calculada como:
Então:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação de (2).
Passo 6
Agora, temos duas equações:
-
e (Equação 1) -
(Equação 2)
Também sabemos que o comprimento do lado
é
.
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar
e
:
Ao elevar ambos os lados ao quadrado, temos:
Vamos expandir essa equação:
Vamos chamar essa Equação de (3).
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações que temos.
Primeiro, da Equação (1):
Da Equação (2):
Podemos reescrever a Equação (2) usando (1a) e (1b):
Sabemos que
(da Equação 1a) e
(da Equação 1b). Substituindo na Equação (2):
Agora, temos:
E a Equação (3):
Passo 8
Vamos usar a Equação (4) para simplificar a Equação (3).
Sabemos que
. Vamos expressar
e substituir na Equação (3):
Vamos expandir:
Simplificando os termos:
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 9
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
para cada solução de
.
Caso 1:
Usando
:
Então,
.
Caso 2:
Usando
:
Então,
.
Passo 10
Agora que temos duas possíveis coordenadas para
, vamos encontrar as coordenadas correspondentes de
usando as Equações (1a) e (1b):
Para
:
Então,
.
Para
:
Então,
.
Passo 11
Agora, temos duas possibilidades para o paralelogramo
:
-
, , , -
, , ,
Ambas as configurações satisfazem as condições do problema: diagonais que se bissetam em
, diagonais perpendiculares, e o comprimento de
igual a
.
Resposta
Os vértices do paralelogramo
são:
ou