Seja o paralelogramo , cujas diagonais são perpendiculares e se cortam no ponto . Se e o comprimento de lado é igual a , determine os outros vértices de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um paralelogramo com diagonais que se cruzam perpendicularmente no ponto . Sabemos que o ponto está em e que o comprimento do lado é . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas dos outros vértices , e do paralelogramo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente propriedades dos paralelogramos e das diagonais. Precisaremos entender que as diagonais de um paralelogramo se bissetam e como aplicar a condição de perpendicularidade entre elas. Também vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar as coordenadas dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas propriedades de um paralelogramo, as diagonais se bissetam. Isso significa que o ponto de interseção é o ponto médio de ambas as diagonais e .
Sabemos que e . Então, podemos usar a fórmula do ponto médio para encontrar as coordenadas do ponto .
A fórmula do ponto médio entre dois pontos e é:
Como é o ponto médio de , temos:
Agora, podemos resolver para e :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos e .
Sabemos que o ponto também é o ponto médio da diagonal . Vamos chamar as coordenadas de de e as de de .
Usando novamente a fórmula do ponto médio:
Isso nos dá duas equações:
Vamos chamar essa Equação (1).

Passo 4

Além disso, sabemos que as diagonais são perpendiculares. Isso significa que o produto das inclinações das diagonais e é igual a .
Primeiro, vamos encontrar a inclinação de .
Pontos e :
Agora, vamos chamar a inclinação de de . Então:

Passo 5

A inclinação da diagonal é . Agora, precisamos relacionar isso com os pontos e .
A inclinação também pode ser calculada como:
Então:
Simplificando:
Vamos chamar essa Equação de (2).

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. e (Equação 1)
  2. (Equação 2)
Também sabemos que o comprimento do lado é .
Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos para relacionar e :
Ao elevar ambos os lados ao quadrado, temos:
Vamos expandir essa equação:
Vamos chamar essa Equação de (3).

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações que temos.
Primeiro, da Equação (1):
Da Equação (2):
Podemos reescrever a Equação (2) usando (1a) e (1b):
Sabemos que (da Equação 1a) e (da Equação 1b). Substituindo na Equação (2):
Agora, temos:
E a Equação (3):

Passo 8

Vamos usar a Equação (4) para simplificar a Equação (3).
Sabemos que . Vamos expressar e substituir na Equação (3):
Vamos expandir:
Simplificando os termos:
Subtraindo 8 de ambos os lados:
Fatorando:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 9

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de para cada solução de .
Caso 1:
Usando :
Então, .
Caso 2:
Usando :
Então, .

Passo 10

Agora que temos duas possíveis coordenadas para , vamos encontrar as coordenadas correspondentes de usando as Equações (1a) e (1b):
Para :
Então, .
Para :
Então, .

Passo 11

Agora, temos duas possibilidades para o paralelogramo :
  1. , , ,
  2. , , ,
Ambas as configurações satisfazem as condições do problema: diagonais que se bissetam em , diagonais perpendiculares, e o comprimento de igual a .

Resposta

Os vértices do paralelogramo são:
ou

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i)
ii)
iii)
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b) O espaço-linha e o espaço-coluna são o próprio ?