e . Determine:
(b) o número real (soma dos elementos da diagonal principal), denominado traço da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta duas matrizes:
Matriz A: É uma matriz 4x4 onde, se a posição for na diagonal principal (ou seja, quando o índice da linha é igual ao da coluna, ), o elemento é . Se não for na diagonal, o elemento é .
Matriz B: É igual a duas vezes a matriz elevada ao quadrado, ou seja, .
O que a gente precisa descobrir é o traço da matriz , que é a soma dos elementos da diagonal principal de , representado por:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa elevar a matriz ao quadrado, ou seja, calcular . Quando a gente multiplica uma matriz por ela mesma (), cada elemento da nova matriz é a soma das multiplicações dos elementos correspondentes das linhas e colunas.
Mas antes de fazer isso manualmente, vamos tentar identificar um padrão ou simplificação, já que tem uma estrutura especial.
Passo 3
Observando a matriz , sabemos que na diagonal principal todos os elementos são e fora da diagonal são . Então, a matriz fica assim:
Quando a gente eleva ao quadrado (), cada elemento de é calculado multiplicando as linhas de pelas colunas de .
Passo 4
Vamos calcular um elemento genérico cij = sumk=1^4 aik cdot akj de :
Para simplificar, vamos calcular a diagonal principal de , ou seja, quando .
Passo 5
Focando nos elementos da diagonal principal de cii = sumk=1^4 aik cdot aki :