Considere as matrizes A=[ai j]4 times 4 tal que
ai j=c -1 se i=j 1 se i neq j
e B=2 A^2=[bi j]4 times 4. Determine:
(b) o número real tr(B)=b11+b22+b33+b44 (soma dos elementos da diagonal principal), denominado traço da matriz B.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta duas matrizes:
  • Matriz A: É uma matriz 4x4 onde, se a posição for na diagonal principal (ou seja, quando o índice da linha é igual ao da coluna, tr(B) = b11 + b22 + b33 + b44 ), o elemento é . Se não for na diagonal, o elemento é .
  • Matriz B: É igual a duas vezes a matriz elevada ao quadrado, ou seja, .
O que a gente precisa descobrir é o traço da matriz , que é a soma dos elementos da diagonal principal de , representado por:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa elevar a matriz ao quadrado, ou seja, calcular . Quando a gente multiplica uma matriz por ela mesma ( ), cada elemento da nova matriz é a soma das multiplicações dos elementos correspondentes das linhas e colunas.
Mas antes de fazer isso manualmente, vamos tentar identificar um padrão ou simplificação, já que tem uma estrutura especial.

Passo 3

Observando a matriz A = -1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & -1 , sabemos que na diagonal principal todos os elementos são e fora da diagonal são . Então, a matriz fica assim:
Quando a gente eleva ao quadrado ( ), cada elemento de é calculado multiplicando as linhas de pelas colunas de .

Passo 4

Vamos calcular um elemento genérico cij = sumk=1^4 aik cdot akj de :
Para simplificar, vamos calcular a diagonal principal de , ou seja, quando .

Passo 5

Focando nos elementos da diagonal principal de cii = sumk=1^4 aik cdot aki :
cii = sumk=1^4 aik^2
Como é simétrica ( ), podemos reescrever:
Sabemos que e para .

Passo 6

Substituindo os valores na soma:
cii = (-1)^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Portanto, todos os elementos da diagonal principal de são iguais a 4.

Passo 7

Agora, como a matriz bii = 2 times cii = 2 times 4 = 8 é igual a , vamos multiplicar cada elemento da diagonal principal de por 2:
Então, cada elemento da diagonal principal de é 8.

Passo 8

Finalmente, o traço de tr(B) = b11 + b22 + b33 + b44 = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 é a soma desses elementos da diagonal principal:

Resposta

O traço da matriz é .

Exercícios relacionados