Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(b) ( ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n inversíveis então
(A+B)^-1=A^-1+B^-1

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se (A+B)^-1 = A^-1 + B^-1 e são matrizes quadradas de ordem inversíveis então
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre matrizes inversíveis e verificar se essa igualdade sempre é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz (A + B)^-1 = A^-1 + B^-1 tal que
onde é a matriz identidade. No entanto, a propriedade que relaciona a inversa da soma de duas matrizes com as inversas individuais não é direta. Em outras palavras, não é uma regra geral que
Vamos verificar isso com um exemplo concreto.

Passo 3

Considere matrizes A = I = 1 & 0 0 & 1 , B = I = 1 & 0 0 & 1 simples:
A^-1 = I, B^-1 = I
Ambas são claramente inversíveis e suas inversas são elas mesmas:
A + B = I + I = 2I = 2 & 0 0 & 2
Agora, vamos calcular (A + B)^-1 = 12I = 12 & 0 0 & 12 :
A^-1 + B^-1 = I + I = 2I = 2 & 0 0 & 2
A inversa de é:
Por outro lado, a soma das inversas é:
Claramente, , já que .

Resposta

Falso.

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