Considere as matrizes A=[ai j]4 times 4 tal que
ai j=c -1 se i=j 1 se i neq j
e B=2 A^2=[bi j]4 times 4. Determine:
© det(3 A^t) e 3 det(A^t). Qual a relação entre esses determinantes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar det(3 A^t) e 3 det(A^t), e também entender qual é a relação entre esses dois valores. O conteúdo aqui é sobre determinantes de matrizes, propriedades de matrizes transpostas e como escalares (como o número 3) afetam esses determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz A, denotada por A^t, não muda o valor do determinante. Ou seja, det(A^t) = det(A).

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando a matriz A é multiplicada por um escalar, no caso, 3. Quando você multiplica uma matriz quadrada de ordem n por um escalar k, o determinante da nova matriz é k^n vezes o determinante da matriz original. Matematicamente, det(kA) = k^n det(A).

Passo 4

No nosso exercício, a matriz A é 4x4, então n = 4. Aplicando a propriedade que acabamos de ver:
det(3 A^t) = 3^4 det(A^t) = 81 det(A)

Passo 5

Por outro lado, temos 3 det(A^t). Sabendo que det(A^t) = det(A), isso fica:
3 det(A)

Passo 6

Comparando os dois resultados:
det(3 A^t) = 81 det(A)
e
3 det(A^t) = 3 det(A)
Vemos que det(3 A^t) é 81 vezes maior que 3 det(A^t).

Resposta

det(3 A^t) = 81, det(A) e 3, det(A^t) = 3, det(A). A relação entre eles é que det(3 A^t) é 27 vezes maior que 3, det(A^t).

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