Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se
um matriz inversível de ordem 4 e
, então
.
(a) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre matrizes inversíveis e operações com elas. Especificamente, temos uma matriz
de ordem 4 que é inversível, e uma equação envolvendo
,
,
, e suas transpostas e inversas. Precisamos decidir se a afirmação
é verdadeira ou falsa, justificando com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
A equação dada é:
Queremos descobrir
, então vamos isolar
.
Passo 4
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
à direita e por
à esquerda:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos expandir
:
Então:
Passo 6
Distribuindo
:
Se
e
comutam, ou seja,
, então:
Então, tomando a transposta de ambos os lados:
Resposta
A afirmação é verdadeira.
satisfaz a equação dada.