Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) ( ) Se Q um matriz inversível de ordem 4 e P Q X^t P^-1 Q^-1=I+P, então X=I+P^t.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! A questão fala sobre matrizes inversíveis e operações com elas. Especificamente, temos uma matriz de ordem 4 que é inversível, e uma equação envolvendo , , , e suas transpostas e inversas. Precisamos decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando com um argumento lógico ou um contra-exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

A equação dada é:
P Q X^t P^-1 Q^-1 = I + P
Queremos descobrir , então vamos isolar .

Passo 4

Para isolar P^-1 Q^-1 (I + P) P Q = X^t , multiplicamos ambos os lados por X^t = P^-1 Q^-1 (I + P) P Q à direita e por à esquerda:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos expandir (I + P) P = P + P^2 :
X^t = P^-1 Q^-1 (P + P^2) Q
Então:

Passo 6

Distribuindo X^t = P^-1 (Q^-1 P Q + Q^-1 P^2 Q) :
X^t = P^-1 (P + P^2) = P^-1 P + P^-1 P^2 = I + P
Se X = (I + P)^t = I + P^t e comutam, ou seja, , então:
Então, tomando a transposta de ambos os lados:

Resposta

A afirmação é verdadeira. satisfaz a equação dada.

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