Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© ( ) Se
, onde
é uma matriz diagonal, então
é uma matriz simétrica.
© ( ) Se
Passo 1
Vamos resumir a questão: Temos uma matriz
que é igual a
, onde
é uma matriz diagonal. Queremos saber se
é uma matriz simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como a transposta de uma matriz funciona.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz simétrica? Uma matriz
é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja,
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Para verificar se
é simétrica, precisamos calcular sua transposta
.
Passo 4
Calculando a transposta de
:
Usando a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que
, temos:
Como
e
, e sabendo que
é diagonal (portanto simétrica, ou seja,
), fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar
com
:
Para
, precisamos que:
Isso só é verdade se
for uma matriz ortogonal, ou seja, se
. Porém, no enunciado, não há essa informação. Portanto, sem essa condição adicional, não podemos garantir que
seja simétrica.
Resposta
(F) Falso. Sem a condição de que
é ortogonal,
não necessariamente é simétrica.