Decida se as afirmações dadas são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
© ( ) Se A=P^t D P, onde D é uma matriz diagonal, então A é uma matriz simétrica.

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos uma matriz que é igual a , onde é uma matriz diagonal. Queremos saber se é uma matriz simétrica. Para isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como a transposta de uma matriz funciona.

Passo 2

Primeiro, o que é uma matriz simétrica? Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta, ou seja, . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Para verificar se é simétrica, precisamos calcular sua transposta .

Passo 4

Calculando a transposta de A^t = (P^t D P)^t :
A^t = P^t t D^t (P^t)^t
Usando a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que A^t = P D P^t , temos:
Como e , e sabendo que é diagonal (portanto simétrica, ou seja, ), fica:

Passo 5

Agora, vamos comparar A = P^t D P com A^t = P D P^t :
P^t D P = P D P^t
Para , precisamos que:
Isso só é verdade se for uma matriz ortogonal, ou seja, se . Porém, no enunciado, não há essa informação. Portanto, sem essa condição adicional, não podemos garantir que seja simétrica.

Resposta

(F) Falso. Sem a condição de que é ortogonal, não necessariamente é simétrica.

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