Mostre que se W subset R^n é um subconjunto não vazio, então W^perp é subespaço de R^n.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que está dentro de e não é vazio. Queremos mostrar que o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e o que significa .

Passo 2

Vamos começar definindo W^perp = v in R^n mid v cdot w = 0 para todo w in W . Esse conjunto é chamado de ortogonal de e consiste em todos os vetores em que são perpendiculares a todos os vetores de . Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui, representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores e .

Passo 3

Para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: O vetor está em ?
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também está em ?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então está em ?

Passo 4

Vamos verificar cada propriedade:
  1. Contém o vetor zero: O produto escalar de 0 cdot w = 0 forall w in W com qualquer vetor (v + u) cdot w = v cdot w + u cdot w = 0 + 0 = 0 é zero:
(cv) cdot w = c (v cdot w) = c cdot 0 = 0
Portanto, .
  1. Fechado sob adição: Se , então para todo :
Assim, .
  1. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então para todo :
Logo, .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é realmente um subespaço de .

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