Mostre que se
é um subconjunto não vazio, então
é subespaço de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que está dentro de
e não é vazio. Queremos mostrar que o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e o que significa
.
Passo 2
Vamos começar definindo
. Esse conjunto é chamado de ortogonal de
e consiste em todos os vetores em
que são perpendiculares a todos os vetores de
. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui,
representa o produto interno (ou produto escalar) entre os vetores
e
.
Passo 3
Para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
- Contém o vetor zero: O vetor
está em ? - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em ? - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então está em ?
Passo 4
Vamos verificar cada propriedade:
- Contém o vetor zero: O produto escalar de
com qualquer vetor é zero:
Portanto,
.
- Fechado sob adição: Se
, então para todo :
Assim,
.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então para todo :
Logo,
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é realmente um subespaço de
.