Considere as matrizes:
Quando possível, calcule o que se pede:
(a) ;
(b) ;

(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve manipulação de matrizes. Mas antes, vamos entender o que está sendo pedido. Temos cinco matrizes dadas: , , , e . O exercício pede para calcular algumas combinações dessas matrizes usando operações como multiplicação por um escalar, adição, transposição e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como:
  • Multiplicar uma matriz por um número (escalar).
  • Somar duas matrizes.
  • Transpor uma matriz.
  • Multiplicar duas matrizes.
Vamos passo a passo resolver cada item solicitado.

Passo 2

(a) Calcular

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, multiplicamos cada elemento da matriz por 4 e cada elemento da matriz por 2, depois subtraímos a segunda matriz da primeira.
Multiplicação por escalar:
Multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Vamos fazer isso:
Subtração de matrizes:
Para subtrair duas matrizes, subtraímos elemento por elemento.

Passo 3

(b) Calcular

Aqui, vamos multiplicar a matriz transposta de por 2 e depois somar a matriz .
Transposição de matriz ( ):
Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas.
Multiplicação por escalar:
Soma de matrizes:
Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões. Vamos verificar:
é uma matriz e também é , então podemos somar.

Passo 4

© Calcular

Neste item, vamos transpor as matrizes e , multiplicá-las por escalares, subtrair e depois transpor o resultado.
Transposição de e :
Multiplicação por escalares:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:

Passo 5

(d) Calcular

Vamos multiplicar a matriz pela transposta de , subtrair o dobro de e então transpor o resultado.
Transposição de :
Já vimos que:
Multiplicação de matrizes ( ):
Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. é e é , então a resultante será uma matriz .
Multiplicando:
Multiplicação por escalar:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados

As matrizes aumentadas a seguir estão em forma escalonada. Em cada caso, encontre a única solução para cada sistema:
Seja um grupo. Mostre que: (b) Se e , então
Para cada sistema abaixo, encontre as matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial e escreva essa equação matricial.
a.
Seja o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. ) com coeficientes em e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
(b) é um subgrupo normal de ? Justifique sua resposta!