Considere as matrizes:
Quando possível, calcule o que se pede:
(a)
4 E-2 D ;
(b)
2 A^T+C ;
(c)^*(2 E^T-3 D^T)^T ;
(d)
(B A^T-2 C)^T .
(a)
(b)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve manipulação de matrizes. Mas antes, vamos entender o que está sendo pedido. Temos cinco matrizes dadas:
,
,
,
e
. O exercício pede para calcular algumas combinações dessas matrizes usando operações como multiplicação por um escalar, adição, transposição e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como:
- Multiplicar uma matriz por um número (escalar).
- Somar duas matrizes.
- Transpor uma matriz.
- Multiplicar duas matrizes.
Vamos passo a passo resolver cada item solicitado.
Passo 2
(a) Calcular
4E = 4 times 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 = 24 & 4 & 12 -4 & 4 & 8 16 & 4 & 12
Primeiro, vamos entender o que significa
2D = 2 times 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 = 2 & 10 & 4 -2 & 0 & 2 6 & 4 & 8 . Aqui, multiplicamos cada elemento da matriz
4E - 2D = 24 & 4 & 12 -4 & 4 & 8 16 & 4 & 12 - 2 & 10 & 4 -2 & 0 & 2 6 & 4 & 8 = 24-2 & 4-10 & 12-4 -4-(-2) & 4-0 & 8-2 16-6 & 4-4 & 12-8 = 22 & -6 & 8 -2 & 4 & 6 10 & 0 & 4 por 4 e cada elemento da matriz
por 2, depois subtraímos a segunda matriz da primeira.
Multiplicação por escalar:
Multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Vamos fazer isso:
Subtração de matrizes:
Para subtrair duas matrizes, subtraímos elemento por elemento.
Para subtrair duas matrizes, subtraímos elemento por elemento.
Passo 3
(b) Calcular
A = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 implies A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1
Aqui, vamos multiplicar a matriz transposta de
2A^T = 2 times 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 = 6 & -2 & 2 0 & 4 & 2 por 2 e depois somar a matriz
2A^T + C = 6 & -2 & 2 0 & 4 & 2 + 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 = 6+1 & -2+4 & 2+2 0+3 & 4+1 & 2+5 = 7 & 2 & 4 3 & 5 & 7 .
Transposição de matriz (
):
Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas.
Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas.
Multiplicação por escalar:
Soma de matrizes:
Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões. Vamos verificar:
Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões. Vamos verificar:
Passo 4
© Calcular
E = 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 implies E^T = 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3
Neste item, vamos transpor as matrizes
D = 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 implies D^T = 1 & -1 & 3 5 & 0 & 2 2 & 1 & 4 e
2E^T = 2 times 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3 = 12 & -2 & 8 2 & 2 & 2 6 & 4 & 6 , multiplicá-las por escalares, subtrair e depois transpor o resultado.
Transposição de
3D^T = 3 times 1 & -1 & 3 5 & 0 & 2 2 & 1 & 4 = 3 & -3 & 9 15 & 0 & 6 6 & 3 & 12 e
2E^T - 3D^T = 12 & -2 & 8 2 & 2 & 2 6 & 4 & 6 - 3 & -3 & 9 15 & 0 & 6 6 & 3 & 12 = 12-3 & -2-(-3) & 8-9 2-15 & 2-0 & 2-6 6-6 & 4-3 & 6-12 = 9 & 1 & -1 -13 & 2 & -4 0 & 1 & -6 :
Multiplicação por escalares:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:
Passo 5
(d) Calcular
A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1
Vamos multiplicar a matriz
B = 4 & -1 0 & 2 , A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 pela transposta de
B A^T = 4 times 3 + (-1) times 0 & 4 times (-1) + (-1) times 2 & 4 times 1 + (-1) times 1 0 times 3 + 2 times 0 & 0 times (-1) + 2 times 2 & 0 times 1 + 2 times 1 = 12 & -4 -2 & 4 -1 0 & 0 + 4 & 0 + 2 = 12 & -6 & 3 0 & 4 & 2 , subtrair o dobro de
2C = 2 times 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 = 2 & 8 & 4 6 & 2 & 10 e então transpor o resultado.
Transposição de
B A^T - 2C = 12 & -6 & 3 0 & 4 & 2 - 2 & 8 & 4 6 & 2 & 10 = 12-2 & -6-8 & 3-4 0-6 & 4-2 & 2-10 = 10 & -14 & -1 -6 & 2 & -8 :
Já vimos que:
Multiplicação de matrizes (
):
Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda.
é
e
é
, então a resultante será uma matriz
.
Multiplicando:
Multiplicação por escalar:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:
Resposta
(a)
22 & -6 & 8 -2 & 4 & 6 10 & 0 & 4
(b)
7 & 2 & 4 3 & 5 & 7
©
9 & -13 & 0 1 & 2 & 1 -1 & -4 & -6
(d)
10 & -6 -14 & 2 -1 & -8