Considere as matrizes:
A=[cc 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 ], B=[cc 4 & -1 0 & 2 ], C=[lll 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 ] D=[ccc 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 ], E=[ccc 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 ]
Quando possível, calcule o que se pede:
(a) 4 E-2 D;
(b) 2 A^T+C;
(c)^*(2 E^T-3 D^T)^T ;
(d) (B A^T-2 C)^T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve manipulação de matrizes. Mas antes, vamos entender o que está sendo pedido. Temos cinco matrizes dadas: , , , e . O exercício pede para calcular algumas combinações dessas matrizes usando operações como multiplicação por um escalar, adição, transposição e multiplicação de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar saber como:
  • Multiplicar uma matriz por um número (escalar).
  • Somar duas matrizes.
  • Transpor uma matriz.
  • Multiplicar duas matrizes.
Vamos passo a passo resolver cada item solicitado.

Passo 2

(a) Calcular 4E = 4 times 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 = 24 & 4 & 12 -4 & 4 & 8 16 & 4 & 12

Primeiro, vamos entender o que significa 2D = 2 times 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 = 2 & 10 & 4 -2 & 0 & 2 6 & 4 & 8 . Aqui, multiplicamos cada elemento da matriz 4E - 2D = 24 & 4 & 12 -4 & 4 & 8 16 & 4 & 12 - 2 & 10 & 4 -2 & 0 & 2 6 & 4 & 8 = 24-2 & 4-10 & 12-4 -4-(-2) & 4-0 & 8-2 16-6 & 4-4 & 12-8 = 22 & -6 & 8 -2 & 4 & 6 10 & 0 & 4 por 4 e cada elemento da matriz por 2, depois subtraímos a segunda matriz da primeira.
Multiplicação por escalar:
Multiplicar uma matriz por um número significa multiplicar cada elemento da matriz por esse número.
Vamos fazer isso:
Subtração de matrizes:
Para subtrair duas matrizes, subtraímos elemento por elemento.

Passo 3

(b) Calcular A = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 implies A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1

Aqui, vamos multiplicar a matriz transposta de 2A^T = 2 times 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 = 6 & -2 & 2 0 & 4 & 2 por 2 e depois somar a matriz 2A^T + C = 6 & -2 & 2 0 & 4 & 2 + 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 = 6+1 & -2+4 & 2+2 0+3 & 4+1 & 2+5 = 7 & 2 & 4 3 & 5 & 7 .
Transposição de matriz ( ):
Transpor uma matriz significa trocar suas linhas por colunas.
Multiplicação por escalar:
Soma de matrizes:
Para somar duas matrizes, elas precisam ter as mesmas dimensões. Vamos verificar:
é uma matriz e também é , então podemos somar.

Passo 4

© Calcular E = 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 implies E^T = 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3

Neste item, vamos transpor as matrizes D = 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 implies D^T = 1 & -1 & 3 5 & 0 & 2 2 & 1 & 4 e 2E^T = 2 times 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3 = 12 & -2 & 8 2 & 2 & 2 6 & 4 & 6 , multiplicá-las por escalares, subtrair e depois transpor o resultado.
Transposição de 3D^T = 3 times 1 & -1 & 3 5 & 0 & 2 2 & 1 & 4 = 3 & -3 & 9 15 & 0 & 6 6 & 3 & 12 e 2E^T - 3D^T = 12 & -2 & 8 2 & 2 & 2 6 & 4 & 6 - 3 & -3 & 9 15 & 0 & 6 6 & 3 & 12 = 12-3 & -2-(-3) & 8-9 2-15 & 2-0 & 2-6 6-6 & 4-3 & 6-12 = 9 & 1 & -1 -13 & 2 & -4 0 & 1 & -6 :
(2E^T - 3D^T)^T = 9 & 1 & -1 -13 & 2 & -4 0 & 1 & -6 ^T = 9 & -13 & 0 1 & 2 & 1 -1 & -4 & -6
Multiplicação por escalares:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:

Passo 5

(d) Calcular A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1

Vamos multiplicar a matriz B = 4 & -1 0 & 2 , A^T = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 pela transposta de B A^T = 4 times 3 + (-1) times 0 & 4 times (-1) + (-1) times 2 & 4 times 1 + (-1) times 1 0 times 3 + 2 times 0 & 0 times (-1) + 2 times 2 & 0 times 1 + 2 times 1 = 12 & -4 -2 & 4 -1 0 & 0 + 4 & 0 + 2 = 12 & -6 & 3 0 & 4 & 2 , subtrair o dobro de 2C = 2 times 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 = 2 & 8 & 4 6 & 2 & 10 e então transpor o resultado.
Transposição de B A^T - 2C = 12 & -6 & 3 0 & 4 & 2 - 2 & 8 & 4 6 & 2 & 10 = 12-2 & -6-8 & 3-4 0-6 & 4-2 & 2-10 = 10 & -14 & -1 -6 & 2 & -8 :
Já vimos que:
(B A^T - 2C)^T = 10 & -14 & -1 -6 & 2 & -8 ^T = 10 & -6 -14 & 2 -1 & -8
Multiplicação de matrizes ( ):
Para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. é e é , então a resultante será uma matriz .
Multiplicando:
Multiplicação por escalar:
Subtração de matrizes:
Transposição do resultado:

Resposta

(a) 22 & -6 & 8 -2 & 4 & 6 10 & 0 & 4
(b) 7 & 2 & 4 3 & 5 & 7
© 9 & -13 & 0 1 & 2 & 1 -1 & -4 & -6
(d) 10 & -6 -14 & 2 -1 & -8

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