Seja G=GL2(R) o grupo das matrizes de ordem 2 (i.e. 2 times 2 ) com coeficientes em R e determinante não nulo (com o produto usual de matrizes). Considere
H=[ll 1 & 0 0 & a ] rvert, a in R and a^3=1
(b) H é um subgrupo normal de G? Justifique sua resposta!

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto , que consiste em matrizes diagonais com determinante não nulo e a condição , é um subgrupo normal de , que é o grupo de todas as matrizes invertíveis com entradas reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subgrupo normal e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o conjunto H = 1 & 0 0 & a ,g|, a in R e a^3 = 1 . Ele é definido como:
Então, estamos considerando matrizes diagonais onde o elemento da diagonal principal é 1 e o outro elemento satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação no conjunto dos números reais . Procuramos valores reais de que, quando elevados ao cubo, resultem em 1. A única solução real para essa equação é , porque . As outras soluções são complexas, mas como estamos trabalhando com números reais, elas não são consideradas aqui.

Passo 4

Com isso, concluímos que H = 1 & 0 0 & 1 contém apenas uma única matriz:
Essa matriz é a matriz identidade . Portanto, é o subgrupo trivial de , que contém apenas a identidade.

Passo 5

Agora, vamos lembrar o que significa um subgrupo ser normal. Um subgrupo gIg^-1 = I para todo g in G de é normal se, para todo elemento , a conjugação está contida em . No caso do subgrupo trivial , que contém apenas a identidade, essa condição é sempre satisfeita porque:
Isso significa que para qualquer em .

Passo 6

Além disso, o subgrupo trivial é sempre normal em qualquer grupo. Isso ocorre porque a identidade comuta com todos os elementos do grupo, garantindo que a condição de normalidade seja atendida automaticamente.

Resposta

Sim, é um subgrupo normal de , pois é o subgrupo trivial que contém apenas a matriz identidade, e todo subgrupo trivial é normal em qualquer grupo.

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