Beleza, vamos lá! A gente tem um grupo e precisa provar que o inverso de um produto de vários elementos é igual ao produto dos inversos desses elementos, mas na ordem inversa. Isso faz parte de Álgebra, mais especificamente da teoria de grupos. Pra resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades básicas de grupos, como a existência de inversos e a associatividade da operação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um grupo. Um grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de um elemento neutro e existência de inversos para cada elemento.
Passo 3
Queremos provar que
para quaisquer e .
Passo 4
Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução é uma técnica onde a gente prova que algo é verdadeiro para um caso base e, se presumirmos que é verdadeiro para um caso qualquer, mostra que também é verdadeiro para o próximo caso.
Passo 5
Caso Base ():
Queremos mostrar que
Sabemos que, em grupos, o inverso de um produto é o produto dos inversos em ordem reversa. Vamos verificar:
Assim, . O caso base está comprovado.
Passo 6
Passo Indutivo:
Vamos supor que a afirmação é verdadeira para , ou seja:
Precisamos mostrar que ela também é válida para :
Passo 7
Usando a propriedade do inverso de um produto, temos:
Passo 8
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo na equação anterior:
Passo 9
Então, juntando tudo:
Isso mostra que a afirmação é válida para .
Passo 10
Como provamos o caso base () e mostramos que se vale para , então vale para , pela indução matemática, a afirmação é verdadeira para todo .