Considere a questão:
Verifique se S é um subespaço vetorial de R^3, para adição e multiplicação por escalar, usuais. Justifique.Um estudante respondeu da seguinte maneira:
Linha 3: ii) k u=k(x1, y1, raizx1+y1)=(k x1, k y1, raizk(x1+y1)) in S
Reescreva cada linha da solução corrigindo o(s) erro(s) cometidos pelo estudante. Se estiver correta, escrever
Linha 3:

Passo 1

Vamos começar resumindo a questão. Precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de com as operações usuais de adição de vetores e multiplicação por escalares. Para isso, vamos precisar revisar alguns conceitos de álgebra linear, como o que define um subespaço vetorial e quais propriedades ele deve satisfazer.
Um subespaço vetorial deve cumprir três condições principais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos focar na terceira condição, que é verificar se, ao multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , o resultado ainda pertence a .

Passo 2

Agora, vamos analisar a linha 3 da solução do estudante:
Linha 3:
O estudante está tentando verificar se é fechado sob multiplicação por escalar, ou seja, se ao multiplicar um vetor de por um escalar , o vetor resultante ainda pertence a .
Erro Identificado:
Na terceira componente do vetor resultante, o estudante colocou a expressão . Isso está incorreto porque a multiplicação por um escalar deve ser aplicada diretamente à componente, não dentro da raiz quadrada.
Correção:
A multiplicação por escalar deve ser aplicada a cada componente do vetor de forma direta. Portanto, a terceira componente deve ser , não .

Resposta

Linha 3:
ii) k u = k(x1, y1, raizx1+y1) = (k x1, k y1, k, raizx1+y1) in S

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