Considere as matrizes: A=(cc10 & 25 2 & 5), B=(lll2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1) e C=(ccc1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1).
a) Calcule det A
b) Calcule det B
c) Calcule det C
d) Verifique se: det(B+C)=det B+det C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os determinantes das matrizes , e , e depois verificar se . Para isso, vamos usar a matéria de álgebra linear, especificamente o conceito de determinante de matrizes. Vamos precisar conhecer como calcular determinantes de matrizes e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 10 & 25 2 & 5 . A matriz det A = ad - bc é :
Para matrizes , o determinante é calculado assim:
onde , , e .

Passo 3

Aplicando a fórmula:
det A = (10)(5) - (25)(2) = 50 - 50 = 0
Então, o determinante de é .

Passo 4

Agora, vamos calcular B = 2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1 . A matriz det B = 2 cdot det -9 & 8 -2 & 1 - (-4) cdot det 5 & 8 7 & 1 + 6 cdot det 5 & -9 7 & -2 é :
Para matrizes , usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores na primeira linha:

Passo 5

Calculando os determinantes das matrizes menores:
det -9 & 8 -2 & 1 = (-9)(1) - (8)(-2) = -9 + 16 = 7
det 5 & 8 7 & 1 = (5)(1) - (8)(7) = 5 - 56 = -51
det 5 & -9 7 & -2 = (5)(-2) - (-9)(7) = -10 + 63 = 53
Agora substituímos de volta na fórmula:
det B = 2(7) - (-4)(-51) + 6(53) = 14 - 204 + 318 = 128
Então, o determinante de é .

Passo 6

Vamos calcular C = 1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1 . A matriz det C = 1 cdot det -3 & -1 2 & -1 - (-3) cdot det -2 & -1 -1 & -1 + 1 cdot det -2 & -3 -1 & 2 é :
Usaremos a expansão por cofatores na primeira linha:

Passo 7

Calculando os determinantes das matrizes menores:
det -3 & -1 2 & -1 = (-3)(-1) - (-1)(2) = 3 + 2 = 5
det -2 & -1 -1 & -1 = (-2)(-1) - (-1)(-1) = 2 - 1 = 1
det -2 & -3 -1 & 2 = (-2)(2) - (-3)(-1) = -4 - 3 = -7
Agora substituímos de volta na fórmula:
det C = 1(5) - (-3)(1) + 1(-7) = 5 + 3 - 7 = 1
Então, o determinante de é .

Passo 8

Agora, vamos verificar se B + C = 2 + 1 & -4 + (-3) & 6 + 1 5 + (-2) & -9 + (-3) & 8 + (-1) 7 + (-1) & -2 + 2 & 1 + (-1) = 3 & -7 & 7 3 & -12 & 7 6 & 0 & 0 . Primeiro, precisamos calcular :
Agora, vamos calcular .

Passo 9

Calculando det(B + C) = 3 & -7 & 7 3 & -12 & 7 6 & 0 & 0 :
det(B + C) = 7 cdot det 3 & -7 6 & 0 - 7 cdot det 3 & -7 6 & 0 + 0 cdot det 3 & -7 3 & -12
Usando a expansão por cofatores na terceira coluna:
det(B + C) = 7( (3)(0) - (-7)(6) ) - 7( (3)(0) - (-7)(6) ) + 0 = 7(42) - 7(42) + 0 = 0
Note que os dois primeiros termos são iguais e com sinais opostos, então:
Então, .

Resposta

a)
b)
c)
d) . Portanto, .

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