Encontre a equação do plano que: a) perpendicular ao eixo z e contém A(2,3,4); b) paralelo a x e contém A(-2,4,-1) B(-1,2,3); c) paralelo a XOZ e contém A(-2,3,-1); d) contém A(1,-2,3) B(-2,- 1,-1) e é perpendicular ao plano pi: 3 x-7 y+z-4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de planos no espaço que atendem a diferentes condições. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a um eixo, paralelo a um eixo ou a outro plano, e como usar pontos para definir esses planos.

Passo 2

a) Plano perpendicular ao eixo c cdot 4 + d = 0 e que contém o ponto

Primeiro, um plano perpendicular ao eixo significa que a normal do plano tem apenas componente na direção . A equação geral de um plano é . Se o plano é perpendicular ao eixo , então e , porque não há variação nas direções e .
Então, a equação do plano fica . Como o plano contém o ponto , substituímos :
Podemos escolher para simplificar, então .
Equação do plano:

Passo 3

b) Plano paralelo ao eixo AB = B - A = (-1 - (-2), 2 - 4, 3 - (-1)) = (1, -2, 4) e que contém os pontos n = AB times i = i & j & k 1 & -2 & 4 1 & 0 & 0 = (0 cdot 4 - (-2) cdot 0)i - (1 cdot 0 - 4 cdot 1)j + (1 cdot 0 - (-2) cdot 1)k = (0)i - (-4)j + (2)k = 0i + 4j + 2k e 0(x + 2) + 4(y - 4) + 2(z + 1) = 0

Um plano paralelo ao eixo 4(y - 4) + 2(z + 1) = 0 4y - 16 + 2z + 2 = 0 4y + 2z - 14 = 0 2y + z - 7 = 0 (dividindo tudo por 2) significa que a direção está contida no plano, ou seja, a normal do plano não tem componente na direção . A normal pode ser na direção e .
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal e um ponto. Vamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados:
Como o plano é paralelo ao eixo , o vetor também está no plano. Agora, o vetor normal é perpendicular a ambos os vetores e . Podemos encontrar o vetor normal usando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é . A equação do plano é então:
Simplificando:
Equação do plano:

Passo 4

c) Plano paralelo ao plano 0(x + 2) + 1(y - 3) + 0(z + 1) = 0 y - 3 = 0 y = 3 e que contém o ponto

Primeiro, o plano é o plano onde . Portanto, sua normal é na direção , ou seja, .
Como queremos um plano paralelo a , ele terá a mesma normal .
A equação do plano será então:
Equação do plano:

Passo 5

d) Plano que contém os pontos n = npi times AB = i & j & k 3 & -7 & 1 -3 & 1 & -4 = i((-7)(-4) - 1 cdot 1) - j(3 cdot (-4) - 1 cdot (-3)) + k(3 cdot 1 - (-7) cdot (-3)) = i(28 - 1) - j(-12 + 3) + k(3 - 21) = 27i + 9j - 18k , n = 3i + j - 2k e é perpendicular ao plano 3(x - 1) + 1(y + 2) - 2(z - 3) = 0 3x -3 + y +2 -2z +6 = 0 3x + y -2z +5 = 0

Para encontrar esse plano, precisamos determinar sua normal. Como o plano é perpendicular ao plano , suas normais são perpendiculares. A normal do plano é .
Seja .
A normal do novo plano deve ser perpendicular a e a . Podemos encontrar essa normal usando o produto vetorial:
Podemos simplificar dividindo por 9:
Agora, a equação do plano que passa por é:
Equação do plano:

Resposta

a)
b)
c)
d)

Exercícios relacionados

Dados os pontos no espaço a seguir, verifique cada uma das informações fornecidas:
P=(2,-4,6), Q=(-3,0,3) e R=(0,8,-6)
É verdade que |O Q|<|O P|<|O R| ?
Dica:
  • Considere p sendo o vetor O P, q=O Q e r=O R
Considere as matrizes: A=(cc10 & 25 2 & 5), B=(lll2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1) e C=(ccc1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1).
a) Calcule det A
b) Calcule det B
c) Calcule det C
d) Verifique se: det(B+C)=det B+det C
Se |llla & b & c d & e & f g & h & i|=11, qual é o valor de:
a) |ccca & b & c 2 d & 2 e & 2 f 3 g & 3 h & 3 i|
b) |lllb & a & 4 c e & d & 4 f h & g & 4 i|
Dados os pontos no espaço a seguir, verifique cada uma das informações fornecidas:
P=(2,-4,6), Q=(-3,0,3) e R=(0,8,-6)
É verdade que |O R|>|R O| ?
Dica:
  • Considere p sendo o vetor O P, q=O Q e r=O R