Encontre a equação do plano que: a) perpendicular ao eixo e contém ; b) paralelo a e contém ; c) paralelo a e contém ; d) contém e é perpendicular ao plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de planos no espaço que atendem a diferentes condições. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender o que significa um plano ser perpendicular a um eixo, paralelo a um eixo ou a outro plano, e como usar pontos para definir esses planos.
Passo 2
a) Plano perpendicular ao eixo e que contém o ponto
Primeiro, um plano perpendicular ao eixo significa que a normal do plano tem apenas componente na direção . A equação geral de um plano é . Se o plano é perpendicular ao eixo , então e , porque não há variação nas direções e .
Então, a equação do plano fica . Como o plano contém o ponto , substituímos :
Podemos escolher para simplificar, então .
Equação do plano:
Passo 3
b) Plano paralelo ao eixo e que contém os pontos e
Um plano paralelo ao eixo significa que a direção está contida no plano, ou seja, a normal do plano não tem componente na direção . A normal pode ser na direção e .
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal e um ponto. Vamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados:
Como o plano é paralelo ao eixo , o vetor também está no plano. Agora, o vetor normal é perpendicular a ambos os vetores e . Podemos encontrar o vetor normal usando o produto vetorial:
Então, o vetor normal é . A equação do plano é então:
Simplificando:
Equação do plano:
Passo 4
c) Plano paralelo ao plano 0(x + 2) + 1(y - 3) + 0(z + 1) = 0 y - 3 = 0 y = 3 e que contém o ponto
Primeiro, o plano é o plano onde . Portanto, sua normal é na direção , ou seja, .
Como queremos um plano paralelo a , ele terá a mesma normal .
A equação do plano será então:
Equação do plano:
Passo 5
d) Plano que contém os pontos n = npi times AB = i & j & k 3 & -7 & 1 -3 & 1 & -4 = i((-7)(-4) - 1 cdot 1) - j(3 cdot (-4) - 1 cdot (-3)) + k(3 cdot 1 - (-7) cdot (-3)) = i(28 - 1) - j(-12 + 3) + k(3 - 21) = 27i + 9j - 18k , n = 3i + j - 2k e é perpendicular ao plano 3(x - 1) + 1(y + 2) - 2(z - 3) = 0 3x -3 + y +2 -2z +6 = 0 3x + y -2z +5 = 0
Para encontrar esse plano, precisamos determinar sua normal. Como o plano é perpendicular ao plano , suas normais são perpendiculares. A normal do plano é .
Seja .
A normal do novo plano deve ser perpendicular a e a . Podemos encontrar essa normal usando o produto vetorial: