Considere as matrizes: , e
Calcule quando possível, as seguintes matrizes:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem várias matrizes dadas e precisa fazer umas operações com elas. O conteúdo aqui é sobre operações com matrizes, como multiplicação, transposição e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como somar, subtrair, multiplicar matrizes e como funciona a transposição.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a):
O que precisamos fazer:
  1. Calcular .
  2. Encontrar a transposta de , que é .
  3. Somar com .
  4. Subtrair de .
  5. Multiplicar a primeira soma por 5 e a segunda diferença por 4.
  6. Finalmente, subtrair esses dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Calcular :
    Multiplicamos cada elemento da matriz por 2:
  2. Encontrar :
    A transposta de troca linhas por colunas:
  3. Somar :
  4. Subtrair :
  5. Multiplicar as matrizes:
    • 5 vezes :
    • 4 vezes :
  6. Subtrair os resultados:

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b):
O que precisamos fazer:
  1. Multiplicar por .
  2. Encontrar a transposta do resultado.
  3. Encontrar a transposta de , que é .
  4. Multiplicar ambos os resultados por .
  5. Somar os dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Multiplicar :
    A multiplicação de matrizes é válida se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . Aqui, é e é , então o resultado será .
    Calculando cada elemento:
  2. Encontrar :
  3. Encontrar :
  4. Multiplicar por :
    • :
    • :
  5. Somar os dois resultados:

Passo 4

Vamos para a letra ©:
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de , que é .
  2. Multiplicar por 10.
  3. Multiplicar por 10.
  4. Subtrair de .
  5. Encontrar a transposta do resultado.
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
  2. Multiplicar :
  3. Multiplicar :
  4. Subtrair de :
  5. Encontrar a transposta:

Passo 5

Agora, a letra (d):
O que precisamos fazer:
  1. Multiplicar por 4.
  2. Multiplicar por 4 e depois por .
  3. Multiplicar por 2.
  4. Somar os dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Multiplicar por 4:
  2. Multiplicar :
    é e é , então o resultado será .
  3. Multiplicar por 2:
  4. Somar com :
    As matrizes têm dimensões diferentes ( e ), então não dá para somar diretamente. Parece que houve um erro no enunciado ou na interpretação. Vamos revisar:
    Revisão:
    Talvez o correto seja somar com . Mas ainda assim, as dimensões n��o batem para soma. Portanto, a expressão pode estar mal formulada ou há uma interpretação diferente.
    Possível correção:
    Talvez seja multiplicado por , mas isso não faz sentido. Ou talvez , onde seria a matriz identidade. Sem mais informações, não é possível concluir. Recomendo verificar o enunciado para garantir que está correto.

Passo 6

Vamos para a letra (e):
O que precisamos fazer:
  1. Calcular , que é multiplicada por ela mesma.
  2. Multiplicar por 5.
  3. Subtrair de .
Resolvendo passo a passo:
  1. Calcular :
    Para multiplicar por ela mesma, precisamos multiplicar cada linha de pelas colunas de .
    Calculando cada elemento:
  2. Multiplicar por 5:
  3. Subtrair de :

Passo 7

Agora, a letra (f):
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de , que é .
  2. Multiplicar por .
  3. Multiplicar o resultado por .
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
  2. Multiplicar :
    Aqui, o resultado é um escalar (número), pois estamos multiplicando uma matriz por uma .
  3. Multiplicar o escalar por :

Passo 8

Por fim, a letra (g):
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de , que é .
  2. Multiplicar por .
  3. Multiplicar o resultado por .
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
    Já fizemos isso antes:
  2. Multiplicar :
    A multiplicação resultará em uma matriz :
  3. Multiplicar :
    Agora, multiplicamos a matriz por :

Resposta

(a)
(b)
©
(d) Não resolvido devido a inconsistência nas dimensões das matrizes para soma.
(e)
(f)
(g)

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;
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$$
T \alpha=(3 \times p \times \sqrt{ } n)+10 $$
Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes: