Considere as matrizes: A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], D=[c1 -1 2] e E=[ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3]
Calcule quando possível, as seguintes matrizes:
(a) 5(2 A+C^t)-4(A-C^t)
(b) 12(A cdot B)^t+12 A^t
© (10 E^t-10 E)^t
(d) 4 B cdot C+2 B
(e) E^2-5 E
(f) D^t cdot D cdot E
(g) D cdot D^t cdot D

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem várias matrizes dadas e precisa fazer umas operações com elas. O conteúdo aqui é sobre operações com matrizes, como multiplicação, transposição e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como somar, subtrair, multiplicar matrizes e como funciona a transposição.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a):
5(2 A + C^t) - 4(A - C^t)
O que precisamos fazer:
  1. Calcular 2A = 2 times 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 = 6 & 0 -2 & 4 2 & 2 .
  2. Encontrar a transposta de C = 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 Rightarrow C^t = 1 & 3 4 & 1 2 & 5 , que é 2A + C^t = 6 & 0 -2 & 4 2 & 2 + 1 & 3 4 & 1 2 & 5 = 7 & 3 2 & 5 4 & 7 .
  3. Somar A - C^t = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 - 1 & 3 4 & 1 2 & 5 = 2 & -3 -5 & 1 -1 & -4 com 5 times 7 & 3 2 & 5 4 & 7 = 35 & 15 10 & 25 20 & 35 .
  4. Subtrair 4 times 2 & -3 -5 & 1 -1 & -4 = 8 & -12 -20 & 4 -4 & -16 de 5(2A + C^t) - 4(A - C^t) = 35 & 15 10 & 25 20 & 35 - 8 & -12 -20 & 4 -4 & -16 = 27 & 27 30 & 21 24 & 51 .
  5. Multiplicar a primeira soma por 5 e a segunda diferença por 4.
  6. Finalmente, subtrair esses dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Calcular :
    Multiplicamos cada elemento da matriz por 2:
  2. Encontrar :
    A transposta de troca linhas por colunas:
  3. Somar :
  4. Subtrair :
  5. Multiplicar as matrizes:
    • 5 vezes :
    • 4 vezes :
  6. Subtrair os resultados:

Passo 3

Agora, vamos para a letra (b):
12(A cdot B)^t + 12 A^t
O que precisamos fazer:
  1. Multiplicar A = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 , B = 4 & -1 0 & 2 por A cdot B = 3 times 4 + 0 times 0 & 3 times (-1) + 0 times 2 -1 times 4 + 2 times 0 & -1 times (-1) + 2 times 2 1 times 4 + 1 times 0 & 1 times (-1) + 1 times 2 = 12 & -3 -4 & 5 4 & 1 .
  2. Encontrar a transposta do resultado.
  3. Encontrar a transposta de (A cdot B)^t = 12 & -3 -4 & 5 4 & 1 ^t = 12 & -4 & 4 -3 & 5 & 1 , que é A^t = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 ^t = 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 .
  4. Multiplicar ambos os resultados por 12 times 12 & -4 & 4 -3 & 5 & 1 = 6 & -2 & 2 -1.5 & 2.5 & 0.5 .
  5. Somar os dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Multiplicar 12 times 3 & -1 & 1 0 & 2 & 1 = 1.5 & -0.5 & 0.5 0 & 1 & 0.5 :
    6 & -2 & 2 -1.5 & 2.5 & 0.5 + 1.5 & -0.5 & 0.5 0 & 1 & 0.5 = 7.5 & -2.5 & 2.5 -1.5 & 3.5 & 1
    A multiplicação de matrizes é válida se o número de colunas de for igual ao número de linhas de . Aqui, é e é , então o resultado será .
    Calculando cada elemento:
  2. Encontrar :
  3. Encontrar :
  4. Multiplicar por :
    • :
    • :
  5. Somar os dois resultados:

Passo 4

Vamos para a letra ©:
(10 E^t - 10 E)^t
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de E = 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 Rightarrow E^t = 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3 , que é 10E^t = 10 times 6 & -1 & 4 1 & 1 & 1 3 & 2 & 3 = 60 & -10 & 40 10 & 10 & 10 30 & 20 & 30 .
  2. Multiplicar 10E = 10 times 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 = 60 & 10 & 30 -10 & 10 & 20 40 & 10 & 30 por 10.
  3. Multiplicar 10E^t - 10E = 60 & -10 & 40 10 & 10 & 10 30 & 20 & 30 - 60 & 10 & 30 -10 & 10 & 20 40 & 10 & 30 = 0 & -20 & 10 20 & 0 & -10 -10 & 10 & 0 por 10.
  4. Subtrair (10E^t - 10E)^t = 0 & -20 & 10 20 & 0 & -10 -10 & 10 & 0 ^t = 0 & 20 & -10 -20 & 0 & 10 10 & -10 & 0 de .
  5. Encontrar a transposta do resultado.
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
  2. Multiplicar :
  3. Multiplicar :
  4. Subtrair de :
  5. Encontrar a transposta:

Passo 5

Agora, a letra (d):
4 B cdot C + 2 B
O que precisamos fazer:
  1. Multiplicar 4B = 4 times 4 & -1 0 & 2 = 16 & -4 0 & 8 por 4.
  2. Multiplicar C = 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 por 4 e depois por 4B cdot C = 16 & -4 0 & 8 cdot 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 = 16 times 1 + (-4) times 3 & 16 times 4 + (-4) times 1 & 16 times 2 + (-4) times 5 0 times 1 + 8 times 3 & 0 times 4 + 8 times 1 & 0 times 2 + 8 times 5 = 16 - 12 & 64 - 4 & 32 - 20 0 + 24 & 0 + 8 & 0 + 40 = 4 & 60 & 12 24 & 8 & 40 .
  3. Multiplicar 2B = 2 times 4 & -1 0 & 2 = 8 & -2 0 & 4 por 2.
  4. Somar os dois resultados.
Resolvendo passo a passo:
  1. Multiplicar por 4:
  2. Multiplicar :
    é e é , então o resultado será .
  3. Multiplicar por 2:
  4. Somar com :
    As matrizes têm dimensões diferentes ( e ), então não dá para somar diretamente. Parece que houve um erro no enunciado ou na interpretação. Vamos revisar:
    Revisão:
    Talvez o correto seja somar com . Mas ainda assim, as dimensões n��o batem para soma. Portanto, a expressão pode estar mal formulada ou há uma interpretação diferente.
    Possível correção:
    Talvez seja multiplicado por , mas isso não faz sentido. Ou talvez , onde seria a matriz identidade. Sem mais informações, não é possível concluir. Recomendo verificar o enunciado para garantir que está correto.

Passo 6

Vamos para a letra (e):
E^2 - 5 E
O que precisamos fazer:
  1. Calcular E = 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 , que é E^2 = E cdot E = 6 times 6 + 1 times (-1) + 3 times 4 & 6 times 1 + 1 times 1 + 3 times 1 & 6 times 3 + 1 times 2 + 3 times 3 -1 times 6 + 1 times (-1) + 2 times 4 & -1 times 1 + 1 times 1 + 2 times 1 & -1 times 3 + 1 times 2 + 2 times 3 4 times 6 + 1 times (-1) + 3 times 4 & 4 times 1 + 1 times 1 + 3 times 1 & 4 times 3 + 1 times 2 + 3 times 3 multiplicada por ela mesma.
  2. Multiplicar E^2 = 36 - 1 + 12 & 6 + 1 + 3 & 18 + 2 + 9 -6 -1 + 8 & -1 + 1 + 2 & -3 + 2 + 6 24 -1 + 12 & 4 + 1 + 3 & 12 + 2 + 9 = 47 & 10 & 29 1 & 2 & 5 35 & 8 & 23 por 5.
  3. Subtrair 5E = 5 times 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 = 30 & 5 & 15 -5 & 5 & 10 20 & 5 & 15 de E^2 - 5E = 47 & 10 & 29 1 & 2 & 5 35 & 8 & 23 - 30 & 5 & 15 -5 & 5 & 10 20 & 5 & 15 = 17 & 5 & 14 6 & -3 & -5 15 & 3 & 8 .
Resolvendo passo a passo:
  1. Calcular :
    Para multiplicar por ela mesma, precisamos multiplicar cada linha de pelas colunas de .
    Calculando cada elemento:
  2. Multiplicar por 5:
  3. Subtrair de :

Passo 7

Agora, a letra (f):
D^t cdot D cdot E
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de D = 1 -1 2 Rightarrow D^t = 1 & -1 & 2 , que é D^t cdot D = 1 & -1 & 2 cdot 1 -1 2 = 1 times 1 + (-1) times (-1) + 2 times 2 = 1 + 1 + 4 = 6 .
  2. Multiplicar 6 times E = 6 times 6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3 = 36 & 6 & 18 -6 & 6 & 12 24 & 6 & 18 por .
  3. Multiplicar o resultado por .
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
  2. Multiplicar :
    Aqui, o resultado é um escalar (número), pois estamos multiplicando uma matriz por uma .
  3. Multiplicar o escalar por :

Passo 8

Por fim, a letra (g):
D cdot D^t cdot D
O que precisamos fazer:
  1. Encontrar a transposta de D^t = 1 & -1 & 2 , que é D = 1 -1 2 , D^t = 1 & -1 & 2 .
  2. Multiplicar D cdot D^t = 1 times 1 & 1 times (-1) & 1 times 2 -1 times 1 & -1 times (-1) & -1 times 2 2 times 1 & 2 times (-1) & 2 times 2 = 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -2 2 & -2 & 4 por 1 & -1 & 2 -1 & 1 & -2 2 & -2 & 4 cdot 1 -1 2 = 1 times 1 + (-1) times (-1) + 2 times 2 -1 times 1 + 1 times (-1) + (-2) times 2 2 times 1 + (-2) times (-1) + 4 times 2 = 1 + 1 + 4 -1 -1 -4 2 + 2 + 8 = 6 -6 12 .
  3. Multiplicar o resultado por .
Resolvendo passo a passo:
  1. Encontrar :
    Já fizemos isso antes:
  2. Multiplicar :
    A multiplicação resultará em uma matriz :
  3. Multiplicar :
    Agora, multiplicamos a matriz por :

Resposta

(a) 27 & 27 30 & 21 24 & 51
(b) 7.5 & -2.5 & 2.5 -1.5 & 3.5 & 1
© 0 & 20 & -10 -20 & 0 & 10 10 & -10 & 0
(d) Não resolvido devido a inconsistência nas dimensões das matrizes para soma.
(e) 17 & 5 & 14 6 & -3 & -5 15 & 3 & 8
(f) 36 & 6 & 18 -6 & 6 & 12 24 & 6 & 18
(g) 6 -6 12

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