Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para decidir se os vetores , e são linearmente independentes em . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter vetores linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero () é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Em termos matemáticos, se só tiver a solução , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Uma maneira eficiente de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos montar a matriz com , e como colunas:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero (), isso nos diz que os vetores , e são linearmente independentes.