Decida quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes:
Em R^3, v1=(1,1,2), v2=(1,2,1), v3=(3,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para decidir se os vetores , e são linearmente independentes em . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ter vetores linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero ( ) é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Em termos matemáticos, se só tiver a solução , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Uma maneira eficiente de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Vamos montar a matriz A = 1 & 1 & 3 1 & 2 & 1 2 & 1 & 1 com , e como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 1) + 3 cdot (1 cdot 1 - 2 cdot 2) é dado por:
det(A) = 1 cdot (2 - 1) - 1 cdot (1 - 2) + 3 cdot (1 - 4)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) + 3 cdot (-3)
det(A) = 1 + 1 - 9 = -7

Passo 5

Como o determinante é diferente de zero ( ), isso nos diz que os vetores , e são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes em .

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