Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
b) A^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício onde precisamos calcular . A matriz é uma matriz quadrada , e para calcular vamos precisar multiplicar a matriz por ela mesma três vezes. Isso envolve entender como multiplicar matrizes, então vamos lembrar que para multiplicar duas matrizes, somamos os produtos das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , que é A^2 = A times A = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 times 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 multiplicada por (1 times 1) + (0 times 1) + (-1 times 0) = 1 + 0 + 0 = 1 :
(1 times 0) + (0 times 1) + (-1 times 1) = 0 + 0 - 1 = -1
Multiplicando (1 times -1) + (0 times 0) + (-1 times 1) = -1 + 0 -1 = -2 por (1 times 1) + (1 times 1) + (0 times 0) = 1 + 1 + 0 = 2 :
(1 times 0) + (1 times 1) + (0 times 1) = 0 + 1 + 0 = 1
Vamos calcular cada elemento de (1 times -1) + (1 times 0) + (0 times 1) = -1 + 0 + 0 = -1 :
  • Elemento (1,1):
    (0 times 1) + (1 times 1) + (1 times 0) = 0 + 1 + 0 = 1
  • Elemento (1,2):
    (0 times 0) + (1 times 1) + (1 times 1) = 0 + 1 + 1 = 2
  • Elemento (1,3):
    (0 times -1) + (1 times 0) + (1 times 1) = 0 + 0 + 1 = 1
  • Elemento (2,1):
    A^2 = 1 & -1 & -2 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, fica:

Passo 3

Agora que temos A^3 = A times A^2 = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 times 1 & -1 & -2 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 , vamos calcular (1 times 1) + (0 times 2) + (-1 times 1) = 1 + 0 -1 = 0 , que é (1 times -1) + (0 times 1) + (-1 times 2) = -1 + 0 -2 = -3 :
(1 times -2) + (0 times -1) + (-1 times 1) = -2 + 0 -1 = -3
Vamos calcular cada elemento de (1 times 1) + (1 times 2) + (0 times 1) = 1 + 2 + 0 = 3 :
  • Elemento (1,1):
    (1 times -1) + (1 times 1) + (0 times 2) = -1 + 1 + 0 = 0
  • Elemento (1,2):
    (1 times -2) + (1 times -1) + (0 times 1) = -2 -1 + 0 = -3
  • Elemento (1,3):
    (0 times 1) + (1 times 2) + (1 times 1) = 0 + 2 + 1 = 3
  • Elemento (2,1):
    (0 times -1) + (1 times 1) + (1 times 2) = 0 + 1 + 2 = 3
  • Elemento (2,2):
    (0 times -2) + (1 times -1) + (1 times 1) = 0 -1 +1 = 0
  • Elemento (2,3):
    A^3 = 0 & -3 & -3 3 & 0 & -3 3 & 3 & 0
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, fica:

Resposta

A^3 = 0 & -3 & -3 3 & 0 & -3 3 & 3 & 0

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
a) B+D.
Seja V=P3, o espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 . Seja S o subespaço de V gerado pelos vetores
A=t^2, t^3+2 t^2+2, t+3, t^3+t^2+2 t+7
Determine a base do subespaço S e sua dimensão.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
c) A D.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
d) D A.