Seja , o espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 . Seja o subespaço de gerado pelos vetores
Determine a base do subespaço e sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. O subespaço é gerado pelos polinômios:
Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos verificar quais desses polinômios são linearmente independentes e, assim, formar a base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Como estamos trabalhando com polinômios de grau até 3, cada vetor terá 4 componentes, correspondentes aos coeficientes de , , e o termo constante. Vamos organizar os polinômios:
Passo 3
Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para a forma escalonada e identificar quais colunas contêm os pivôs. As colunas com pivôs correspondem aos vetores linearmente independentes que formarão a base de .
Passo 4
Vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz:
Primeira coluna: Já temos um pivô na posição (2,1). Vamos trocar a primeira e a segunda linha para trazer o pivô para o topo.
Terceira coluna: O pivô está na posição (3,3). Vamos eliminar o 3 na posição (4,3).
Linha 4:
Quarta coluna: O pivô está na posição (4,4). Nenhuma eliminação necessária.
Passo 5
Após a redução, observamos que cada coluna possui um pivô. Isso significa que todas as colunas iniciais são linearmente independentes. Portanto, os vetores correspondentes a essas colunas formam a base do subespaço .
Passo 6
Assim, a base de Base de S = t^2, t^3 + 2t^2 + 2, t + 3, t^3 + t^2 + 2t + 7 é formada pelos polinômios que correspondem às colunas originais:
No entanto, como todos são independentes, a dimensão de é o número de vetores na base, ou seja, 4.
Resposta
A base do subespaço é formada pelos polinômios e sua dimensão é 4.