Seja V=P3, o espaço vetorial real dos polinômios de grau até 3 . Seja S o subespaço de V gerado pelos vetores
A=t^2, t^3+2 t^2+2, t+3, t^3+t^2+2 t+7
Determine a base do subespaço S e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um espaço vetorial A = t^2, t^3 + 2t^2 + 2, t + 3, t^3 + t^2 + 2t + 7 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3. O subespaço é gerado pelos polinômios:
Nosso objetivo é encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos verificar quais desses polinômios são linearmente independentes e, assim, formar a base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada polinômio como um vetor de coeficientes. Como estamos trabalhando com polinômios de grau até 3, cada vetor terá 4 componentes, correspondentes aos coeficientes de p1(t) &= t^2 Rightarrow [0, 1, 0, 0] p2(t) &= t^3 + 2t^2 + 2 Rightarrow [1, 2, 0, 2] p3(t) &= t + 3 Rightarrow [0, 0, 1, 3] p4(t) &= t^3 + t^2 + 2t + 7 Rightarrow [1, 1, 2, 7] , , e o termo constante. Vamos organizar os polinômios:

Passo 3

Agora, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
0 & 1 & 0 & 1 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 2 & 3 & 7
Nosso objetivo é reduzir essa matriz para a forma escalonada e identificar quais colunas contêm os pivôs. As colunas com pivôs correspondem aos vetores linearmente independentes que formarão a base de .

Passo 4

Vamos realizar operações de linha para simplificar a matriz:
  1. Primeira coluna: Já temos um pivô na posição (2,1). Vamos trocar a primeira e a segunda linha para trazer o pivô para o topo.
1 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 2 & 3 & 7
  1. Eliminando abaixo do pivô na primeira coluna: As entradas abaixo do pivô (primeira coluna) já estão zeros.
  2. Segunda coluna: O pivô já está na posição (2,2). Agora, vamos eliminar o 2 na posição (1,2) e o 2 na posição (4,2).
    • Linha 1: 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 2 & 3 & 7
    1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3 & 5
    • Linha 4: 1 & 0 & 0 & -1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & -1
  3. Terceira coluna: O pivô está na posição (3,3). Vamos eliminar o 3 na posição (4,3).
    • Linha 4:
  4. Quarta coluna: O pivô está na posição (4,4). Nenhuma eliminação necessária.

Passo 5

Após a redução, observamos que cada coluna possui um pivô. Isso significa que todas as colunas iniciais são linearmente independentes. Portanto, os vetores correspondentes a essas colunas formam a base do subespaço .

Passo 6

Assim, a base de Base de S = t^2, t^3 + 2t^2 + 2, t + 3, t^3 + t^2 + 2t + 7 é formada pelos polinômios que correspondem às colunas originais:
No entanto, como todos são independentes, a dimensão de é o número de vetores na base, ou seja, 4.

Resposta

A base do subespaço é formada pelos polinômios e sua dimensão é 4.

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Considere o subespaço S do R^5 gerado pelos vetores A=(1,1,1,1,1),(2,1,0,1,2),(3,3,0,3,3).
O vetor (0,1,1,1,0) pertence a S ? Justifique.
Determine os autovalores e autovetores dos seguintes operadores lineares.
c. T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 y+3 z).
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
a) B+D.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
b) A^3.