Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
e) A^3-B D^t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular . Estamos trabalhando com matrizes e operações como potenciação, transposição e multiplicação de matrizes. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes, calcular potências de matrizes e transpor uma matriz. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir a matriz D = 2 & 1 5 & 4 8 & 7 usando a expressão para e . Vamos calcular cada elemento:
Para :
Para :
Para :
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de D^t = 2 & 5 & 8 1 & 4 & 7 , que é . A transposição de uma matriz troca suas linhas por colunas. Então, a matriz será uma matriz :

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular A = 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 , ou seja, A^2 = A times A = (1)(1) + (0)(1) + (-1)(0) & (1)(0) + (0)(1) + (-1)(1) & (1)(-1) + (0)(0) + (-1)(1) (1)(1) + (1)(1) + (0)(0) & (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) & (1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) & (0)(0) + (1)(1) + (1)(1) & (0)(-1) + (1)(0) + (1)(1) multiplicada por ela mesma três vezes. Vamos começar calculando A^2 = 1 & -1 & -2 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 .
Primeiro, a matriz A^3 = A^2 times A = 1 & -1 & -2 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 é:
A^3 = 0 & -3 & -3 3 & 0 & -3 3 & 3 & 0
Para multiplicar , multiplicamos linhas de pelas colunas de :
Calculando cada elemento:
Então,
Agora, calculamos :
Calculando cada elemento:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular B = -1 & 5 2 & 0 1 & 1 . A matriz D^t = 2 & 5 & 8 1 & 4 & 7 é:
B D^t = (-1)(2) + (5)(1) & (-1)(5) + (5)(4) & (-1)(8) + (5)(7) (2)(2) + (0)(1) & (2)(5) + (0)(4) & (2)(8) + (0)(7) (1)(2) + (1)(1) & (1)(5) + (1)(4) & (1)(8) + (1)(7)
E já calculamos B D^t = 3 & 15 & 27 4 & 10 & 16 3 & 9 & 15 :
Para multiplicar , é preciso que o número de colunas de seja igual ao número de linhas de , o que é verdade aqui (2 colunas de e 2 linhas de ). O resultado será uma matriz .
Vamos calcular cada elemento:
Calculando cada elemento:
Então,

Passo 6

Finalmente, precisamos calcular A^3 = 0 & -3 & -3 3 & 0 & -3 3 & 3 & 0 . Temos:
B D^t = 3 & 15 & 27 4 & 10 & 16 3 & 9 & 15
e
A^3 - B D^t = 0 - 3 & -3 - 15 & -3 - 27 3 - 4 & 0 - 10 & -3 - 16 3 - 3 & 3 - 9 & 0 - 15 = -3 & -18 & -30 -1 & -10 & -19 0 & -6 & -15
Subtraindo de :

Resposta

Portanto, o resultado de A^3 - B D^t = -3 & -18 & -30 -1 & -10 & -19 0 & -6 & -15 é:

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
d) D A.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
c) A D.
Provar que se A e B são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c) (A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3.
Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u, v e w são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v, u2=u-w e u3=v-w são LI.