Provar que se A e B são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c) (A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 e que comutam, ou seja, . Queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a condição de que e comutam.

Passo 2

Vamos começar expandindo (A + B)^3 = (A + B)(A + B)(A + B) . Por definição, isso significa multiplicar três vezes:

Passo 3

Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
(A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2
Aqui, usamos a propriedade distributiva para multiplicar cada termo de pelo outro.

Passo 4

Como A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 e comutam, sabemos que . Portanto, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, multiplicamos o resultado pela terceira (A^2 + 2AB + B^2)(A + B) = A^3 + 2A^2B + AB^2 + A^2B + 2AB^2 + B^3 :
Distribuímos cada termo de por .

Passo 6

Novamente, usando A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 , combinamos os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, provamos que:
(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

Exercícios relacionados

Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
e) A^3-B D^t.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
d) D A.
Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u, v e w são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v, u2=u-w e u3=v-w são LI.
Obter todas as matrizes B que comutam com A=(lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1).