Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c)
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas matrizes
e
que comutam, ou seja,
. Queremos provar que:
Para isso, vamos precisar usar a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes e a condição de que
e
comutam.
Passo 2
Vamos começar expandindo
. Por definição, isso significa multiplicar
três vezes:
Passo 3
Vamos multiplicar as duas primeiras matrizes:
Aqui, usamos a propriedade distributiva para multiplicar cada termo de
pelo outro.
Passo 4
Como
e
comutam, sabemos que
. Portanto, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, multiplicamos o resultado pela terceira
:
Distribuímos cada termo de
por
.
Passo 6
Novamente, usando
, combinamos os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Considere as matrizes:
onde
ci j=2 i+j e
dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e
1 <= k <= 3 . Se possível, calcule:
e)A^3-B D^t .
e)
Considere as matrizes:
onde
ci j=2 i+j e
dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e
1 <= k <= 3 . Se possível, calcule:
d)D A .
d)
Sejam os vetores
u ,
v e
w . Prove que: Os vetores
u, v e
w são LI se, e somente se, os vetores
u1=u+v, u2=u-w e
u3=v-w são LI.
Obter todas as matrizes
B que comutam com
A=(lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1) .