Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u, v e w são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v, u2=u-w e u3=v-w são LI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, u, v e w, e queremos provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores u1 = u + v, u2 = u - w e u3 = v - w também forem LI. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se au + bv + cw = 0 implica que a = b = c = 0, então os vetores são LI.

Passo 3

Vamos provar a primeira parte: se u, v e w são LI, então u1, u2 e u3 também são LI. Suponha que exista k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0. Substituindo os valores de u1, u2 e u3, temos:
k1(u + v) + k2(u - w) + k3(v - w) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
k1u + k1v + k2u - k2w + k3v - k3w = 0
Agrupando termos semelhantes:
(k1 + k2)u + (k1 + k3)v + (-k2 - k3)w = 0

Passo 5

Como u, v e w são LI, os coeficientes devem ser zero:
k1 + k2 = 0 k1 + k3 = 0 - k2 - k3 = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: k2 = -k1
  • Da segunda equação: k3 = -k1
  • Da terceira equação: -(-k1) - (-k1) = 0 Rightarrow k1 - k1 = 0 (válido para qualquer k1)
Mas, substituindo k2 e k3 em termos de k1, e considerando que todas as equações se reduzem a k1 = 0, concluímos que k1 = k2 = k3 = 0.

Passo 7

Agora, vamos provar a outra direção: se u1, u2 e u3 são LI, então u, v e w também são LI. Suponha que exista au + bv + cw = 0.

Passo 8

Queremos relacionar essa combinação linear com as combinações de u1, u2 e u3. Podemos expressar u, v e w em termos de u1, u2 e u3:
u = u1 + u22 v = u1 + u32 w = u2 + u32

Passo 9

Substituindo na combinação linear:
a(u1 + u22) + b(u1 + u32) + c(u2 + u32) = 0
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
a(u1 + u2) + b(u1 + u3) + c(u2 + u3) = 0

Passo 10

Distribuindo os coeficientes:
(a + b)u1 + (a + c)u2 + (b + c)u3 = 0

Passo 11

Como u1, u2 e u3 são LI, os coeficientes devem ser zero:
a + b = 0 a + c = 0 b + c = 0

Passo 12

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: b = -a
  • Da segunda equação: c = -a
  • Da terceira equação: -a - a = 0 Rightarrow -2a = 0 Rightarrow a = 0
    Então, a = b = c = 0

Resposta

Portanto, os vetores u, v e w são linearmente independentes se, e somente se, os vetores u1 = u + v, u2 = u - w e u3 = v - w também forem linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Provar que se A e B são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
c) (A+B)^3=A^3+3 A^2 B+3 A B^2+B^3.
Considere as matrizes:
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ), B=(cc -1 & 5 2 & 0 1 & 1 ), C=(ci j) in M2 times 2 e D=(dk j) in M3 times 2
onde ci j=2 i+j e dk j=3 k-j, 1 <= i, j <= 2 e 1 <= k <= 3. Se possível, calcule:
e) A^3-B D^t.
Obter todas as matrizes B que comutam com A=(lll1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1).
Verifique se o conjunto A=1, t, e^t são linearmente independentes. Justifique com argumentos matemáticos.