Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores, , e , e queremos provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, os vetores , e também forem LI. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que , então os vetores são LI.
Passo 3
Vamos provar a primeira parte: se , e são LI, então , e também são LI. Suponha que exista . Substituindo os valores de , e , temos:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Como , e são LI, os coeficientes devem ser zero:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: (válido para qualquer )
Mas, substituindo e em termos de , e considerando que todas as equações se reduzem a , concluímos que .
Passo 7
Agora, vamos provar a outra direção: se , e são LI, então , e também são LI. Suponha que exista .
Passo 8
Queremos relacionar essa combinação linear com as combinações de , e . Podemos expressar , e em termos de , e :
Passo 9
Substituindo na combinação linear:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 10
Distribuindo os coeficientes:
Passo 11
Como , e são LI, os coeficientes devem ser zero:
Passo 12
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Então,
Resposta
Portanto, os vetores , e são linearmente independentes se, e somente se, os vetores , e também forem linearmente independentes.