Considere as matrizes A=[ccc1 & 0 & -2 -3 & 1 & 1 2 & 0 & -1] e B=[ccc2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4].
Escreva as colunas de A B como uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes e e precisa descobrir como as colunas do produto podem ser escritas como combinações das colunas da matriz . Vamos precisar entender um pouco de multiplicação de matrizes e combinação linear para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como multiplicar duas matrizes. Se é uma matriz e também é , o produto vai ser outra matriz . Cada coluna de é resultado de multiplicar a matriz por uma coluna de .

Passo 3

Vamos identificar as colunas de b1 = 2 1 -1 , b2 = 3 -1 6 , b3 = 0 1 4 . Seja , onde:

Passo 4

Agora, o produto cj = A cdot bj para j = 1, 2, 3 terá suas colunas dadas por:
Isso significa que cada coluna de é uma combinação linear das colunas de , com os coeficientes vindo das colunas de .

Passo 5

Vamos ver como isso funciona para a primeira coluna c1 = A cdot b1 = 2 cdot C1(A) + 1 cdot C2(A) + (-1) cdot C3(A) :
Aqui, , , e são as colunas de . O mesmo vale para as outras colunas.

Passo 6

Aplicando o mesmo raciocínio para as outras colunas:
c2 = A cdot b2 = 3 cdot C1(A) + (-1) cdot C2(A) + 6 cdot C3(A)
c3 = A cdot b3 = 0 cdot C1(A) + 1 cdot C2(A) + 4 cdot C3(A)

Resposta

As colunas de c1 = 2 C1(A) + 1 C2(A) - 1 C3(A) são:
c2 = 3 C1(A) - 1 C2(A) + 6 C3(A)
c3 = 0 C1(A) + 1 C2(A) + 4 C3(A)

Exercícios relacionados

Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
j) tr(A^2)=(tr(A))^2
Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar G circ F circ H.
Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a) V=R^3, (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3) e alpha(x1, x2, x3)=(alpha x1, alpha x2, alpha x3).
Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
h) O conjunto de todos os polinônios da forma a x+b com as operações
(a0+a1 x)+(b0+b1 x)=(a0+b0)+(a1+b1) x e alpha(a0+a1 x)=(alpha a0)+(alpha a1) x