Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
j) tr(A^2)=(tr(A))^2

Passo 1

Vamos analisar a seguinte proposição:
tr(A^2) = (tr(A))^2
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e utilizando o conceito de traço de uma matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o traço de e comparar com o quadrado do traço de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o traço de uma matriz. Para uma matriz quadrada tr(A) = a11 + a22 + dots + ann, , o traço é definido como:
onde são os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, precisamos elevar a matriz ao quadrado e então somar os elementos da diagonal principal da matriz resultante.

Passo 4

Para verificar se a proposição é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo. Vamos escolher uma matriz específica e calcular ambos os lados da equação.
Considere a matriz A = 1 & 1 0 & 1 :

Passo 5

Primeiro, calculamos A^2 = A times A = 1 & 1 0 & 1 times 1 & 1 0 & 1 = 1 times 1 + 1 times 0 & 1 times 1 + 1 times 1 0 times 1 + 1 times 0 & 0 times 1 + 1 times 1 = 1 & 2 0 & 1 :

Passo 6

Agora, calculamos o traço de tr(A^2) = 1 + 1 = 2 :

Passo 7

Em seguida, calculamos o traço de tr(A) = 1 + 1 = 2, e seu quadrado:
(tr(A))^2 = 2^2 = 4

Passo 8

Comparando os resultados:
tr(A^2) = 2 neq 4 = (tr(A))^2

Resposta

A proposição é Falsa. Por exemplo, para a matriz 1 & 1 0 & 1, temos e , que são diferentes.

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