Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos analisar a seguinte proposição:
Aqui, estamos lidando com matrizes quadradas e utilizando o conceito de traço de uma matriz. O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Para resolver isso, precisamos entender como calcular o traço de e comparar com o quadrado do traço de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o traço de uma matriz. Para uma matriz quadrada , o traço é definido como:
onde são os elementos da diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos calcular . Para isso, precisamos elevar a matriz ao quadrado e então somar os elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Passo 4
Para verificar se a proposição é verdadeira ou falsa, vamos considerar um contra-exemplo. Vamos escolher uma matriz específica e calcular ambos os lados da equação.
Considere a matriz :
Passo 5
Primeiro, calculamos :
Passo 6
Agora, calculamos o traço de :
Passo 7
Em seguida, calculamos o traço de e seu quadrado:
Passo 8
Comparando os resultados:
Resposta
A proposição é Falsa. Por exemplo, para a matriz , temos e , que são diferentes.