Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
h) O conjunto de todos os polinônios da forma com as operações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de todos os polinômios da forma , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos nesse conjunto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar rápido o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar (um número real), e tudo isso precisa seguir certas regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Existem 10 axiomas no total que precisamos verificar:
Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
Comutatividade da adição: A + B = B + A.
Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C).
Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que A + 0 = A.
Existência do inverso aditivo: Para todo A, existe -A tal que A + (-A) = 0.
Fechamento da multiplicação por escalar: O produto de um escalar por um vetor está no conjunto.
Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores: α(A + B) = αA + αB.
Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares: (α + β)A = αA + βA.
Compatibilidade da multiplicação por escalares: α(βA) = (αβ)A.
Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto dos polinômios da forma .
Passo 3
1. Fechamento da adição
A adição está definida como:
Claramente, a soma de dois polinômios desse tipo ainda é um polinômio da forma , onde e . Então, o fechamento da adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição
Vamos ver se:
Pela definição da adição, temos:
Como a adição de números reais é comutativa ( e ), a comutatividade da adição é satisfeita.
3. Associatividade da adição
Devemos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
Do lado direito:
Ambos os lados resultam no mesmo polinômio, então a associatividade é satisfeita.
4. Existência do elemento neutro
Precisamos que exista um polinômio tal que:
Pelo definição da adição, isso acontece:
Logo, o elemento neutro existe.
5. Existência do inverso aditivo
Para cada polinômio , deve existir tal que:
De fato:
Portanto, o inverso aditivo existe.
6. Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação está definida como:
O resultado também é um polinômio da forma , onde e . Assim, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como e , a distributividade é satisfeita.
8. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Vamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Novamente, e , então a distributividade é válida.
9. Compatibilidade da multiplicação por escalares
Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a compatibilidade está ok.
10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos que:
Pela definição da multiplicação por escalar:
Isso confirma que o elemento neutro da multiplicação existe.
Resposta
Após verificar todos os 10 axiomas de espaço vetorial, concluímos que o conjunto de todos os polinômios da forma , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial.