Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
h) O conjunto de todos os polinônios da forma a x+b com as operações
(a0+a1 x)+(b0+b1 x)=(a0+b0)+(a1+b1) x e alpha(a0+a1 x)=(alpha a0)+(alpha a1) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de todos os polinômios da forma , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e checar um por um se eles são satisfeitos nesse conjunto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rápido o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) onde podemos adicionar dois vetores e multiplicar um vetor por um escalar (um número real), e tudo isso precisa seguir certas regras chamadas axiomas de espaço vetorial. Existem 10 axiomas no total que precisamos verificar:
  1. Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: A + B = B + A.
  3. Associatividade da adição: (A + B) + C = A + (B + C).
  4. Existência do elemento neutro: Existe um vetor zero tal que A + 0 = A.
  5. Existência do inverso aditivo: Para todo A, existe -A tal que A + (-A) = 0.
  6. Fechamento da multiplicação por escalar: O produto de um escalar por um vetor está no conjunto.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores: α(A + B) = αA + αB.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares: (α + β)A = αA + βA.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: α(βA) = (αβ)A.
  10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar: 1A = A.
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto dos polinômios da forma .

Passo 3

1. Fechamento da adição
A adição está definida como:
(a0 + a1 x) + (b0 + b1 x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x
Claramente, a soma de dois polinômios desse tipo ainda é um polinômio da forma (a0 + a1 x) + (b0 + b1 x) = (b0 + b1 x) + (a0 + a1 x) , onde (a0 + b0) + (a1 + b1)x = (b0 + a0) + (b1 + a1)x e [(a0 + a1 x) + (b0 + b1 x)] + (c0 + c1 x) = (a0 + a1 x) + [(b0 + b1 x) + (c0 + c1 x)] . Então, o fechamento da adição é satisfeito.
2. Comutatividade da adição
Vamos ver se:
(a0 + b0) + (a1 + b1)x + c0 + c1 x = (a0 + b0 + c0) + (a1 + b1 + c1) x
Pela definição da adição, temos:
a0 + (b0 + c0) + a1 x + (b1 + c1) x = (a0 + b0 + c0) + (a1 + b1 + c1) x
Como a adição de números reais é comutativa ( (a0 + a1 x) + (0 + 0x) = a0 + a1 x e (a0 + 0) + (a1 + 0)x = a0 + a1 x ), a comutatividade da adição é satisfeita.
3. Associatividade da adição
Devemos verificar se:
(a x + b) + (-a x + (-b)) = 0x + 0
Calculando o lado esquerdo:
(a + (-a)) + (b + (-b))x = 0 + 0x
Do lado direito:
alpha(a0 + a1 x) = (alpha a0) + (alpha a1) x
Ambos os lados resultam no mesmo polinômio, então a associatividade é satisfeita.
4. Existência do elemento neutro
Precisamos que exista um polinômio alpha[(a0 + a1 x) + (b0 + b1 x)] = alpha(a0 + a1 x) + alpha(b0 + b1 x) tal que:
alpha[(a0 + b0) + (a1 + b1)x] = alpha(a0 + b0) + alpha(a1 + b1)x
Pelo definição da adição, isso acontece:
(alpha a0 + alpha a1 x) + (alpha b0 + alpha b1 x) = (alpha a0 + alpha b0) + (alpha a1 + alpha b1)x
Logo, o elemento neutro existe.
5. Existência do inverso aditivo
Para cada polinômio (alpha + beta)(a0 + a1 x) = alpha(a0 + a1 x) + beta(a0 + a1 x) , deve existir (alpha + beta)a0 + (alpha + beta)a1 x tal que:
alpha a0 + alpha a1 x + beta a0 + beta a1 x = (alpha a0 + beta a0) + (alpha a1 + beta a1)x
De fato:
alpha(beta(a0 + a1 x)) = (alpha beta)(a0 + a1 x)
Portanto, o inverso aditivo existe.
6. Fechamento da multiplicação por escalar
A multiplicação está definida como:
alpha[(beta a0) + (beta a1)x] = alpha beta a0 + alpha beta a1 x
O resultado também é um polinômio da forma (alpha beta)a0 + (alpha beta)a1 x , onde 1(a0 + a1 x) = a0 + a1 x e 1a0 + 1a1 x = a0 + a1 x . Assim, o fechamento da multiplicação por escalar é satisfeito.
7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores
Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como e , a distributividade é satisfeita.
8. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares
Vamos verificar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Novamente, e , então a distributividade é válida.
9. Compatibilidade da multiplicação por escalares
Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Os dois lados são iguais, então a compatibilidade está ok.
10. Existência do elemento neutro da multiplicação por escalar
Precisamos que:
Pela definição da multiplicação por escalar:
Isso confirma que o elemento neutro da multiplicação existe.

Resposta

Após verificar todos os 10 axiomas de espaço vetorial, concluímos que o conjunto de todos os polinômios da forma , com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas, forma um espaço vetorial.

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Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a) V=R^3, (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3) e alpha(x1, x2, x3)=(alpha x1, alpha x2, alpha x3).
Considere as matrizes A=[ccc1 & 0 & -2 -3 & 1 & 1 2 & 0 & -1] e B=[ccc2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4].
Escreva as colunas de A B como uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A).
Calcule a inversa da seguinte matriz utilizando sua adjunta
A=[ll 1 & 1 0 & 7 ]
Resolva os seguintes sistemas pela de Cramer. rx-y+z+t=0 x+y-z+t=1 -x+y+z-t=0 2 x-y-z+3 t=1