Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a) V=R^3, (x1, x2, x3)+(y1, y2, y3)=(x1+y1, x2+y2, x3+y3) e alpha(x1, x2, x3)=(alpha x1, alpha x2, alpha x3).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício! A gente tem o conjunto (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
alpha(x1, x2, x3) = (alpha x1, alpha x2, alpha x3)
Vamos verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se todas as propriedades (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a adição é comutativa, ou seja, se (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) para quaisquer vetores (y1, y2, y3) + (x1, x2, x3) = (y1 + x1, y2 + x2, y3 + x3) em .
Calculando:
Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos que . Então, a comutatividade da adição está OK.

Passo 3

Agora, vamos checar a associatividade da adição, ou seja, se (u + v) + w = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) + (z1, z2, z3) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3) para quaisquer u + (v + w) = (x1, x2, x3) + (y1 + z1, y2 + z2, y3 + z3) = (x1 + y1 + z1, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3) em .
Calculando:
Os resultados são iguais, então a associatividade está garantida.

Passo 4

Vamos verificar a existência do elemento neutro da adição, ou seja, se existe um vetor (x1, x2, x3) + (0, 0, 0) = (x1 + 0, x2 + 0, x3 + 0) = (x1, x2, x3) em tal que para todo em .
No caso, o vetor funciona:
Então, o elemento neutro existe e é .

Passo 5

Agora, a existência do inverso aditivo: para cada vetor (x1, x2, x3) + (-x1, -x2, -x3) = (0, 0, 0) em , deve existir um vetor tal que .
Para , o inverso é :
Então, todo vetor tem seu inverso aditivo.

Passo 6

Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores, ou seja, se alpha((x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)) = (alpha(x1 + y1), alpha(x2 + y2), alpha(x3 + y3)) = (alpha x1 + alpha y1, alpha x2 + alpha y2, alpha x3 + alpha y3) .
Calculando:
alphau + alphav = (alpha x1, alpha x2, alpha x3) + (alpha y1, alpha y2, alpha y3) = (alpha x1 + alpha y1, alpha x2 + alpha y2, alpha x3 + alpha y3)
Os dois lados são iguais, então a distributividade está válida.

Passo 7

Agora, a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares, ou seja, (alpha + beta)(x1, x2, x3) = ((alpha + beta)x1, (alpha + beta)x2, (alpha + beta)x3) .
Calculando:
alphav + betav = (alpha x1, alpha x2, alpha x3) + (beta x1, beta x2, beta x3) = ((alpha + beta)x1, (alpha + beta)x2, (alpha + beta)x3)
Os dois lados coincidem, então essa propriedade também está satisfeita.

Passo 8

Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares, ou seja, alpha((beta x1, beta x2, beta x3)) = (alpha(beta x1), alpha(beta x2), alpha(beta x3)) = ((alphabeta) x1, (alphabeta) x2, (alphabeta) x3) .
Calculando:
(alphabeta)v = ((alphabeta) x1, (alphabeta) x2, (alphabeta) x3)
Os dois resultados são iguais, então a compatibilidade está confirmada.

Passo 9

Por fim, a identidade da multiplicação escalar, que diz que 1(x1, x2, x3) = (1 cdot x1, 1 cdot x2, 1 cdot x3) = (x1, x2, x3) .
Calculando:
Portanto, a identidade da multiplicação escalar também está satisfeita.

Resposta

Como todas as propriedades necessárias foram verificadas e satisfeitas, concluímos que com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial.

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j) tr(A^2)=(tr(A))^2
Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
h) O conjunto de todos os polinônios da forma a x+b com as operações
(a0+a1 x)+(b0+b1 x)=(a0+b0)+(a1+b1) x e alpha(a0+a1 x)=(alpha a0)+(alpha a1) x
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