Verifique se os conjuntos com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas, são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício! A gente tem o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Vamos verificar se esse conjunto com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos checar se todas as propriedades (axiomas) de um espaço vetorial são satisfeitas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a adição é comutativa, ou seja, se
para quaisquer vetores
em
.
Calculando:
Como a adição de números reais é comutativa (
), temos que
. Então, a comutatividade da adição está OK.
Passo 3
Agora, vamos checar a associatividade da adição, ou seja, se
para quaisquer
em
.
Calculando:
Os resultados são iguais, então a associatividade está garantida.
Passo 4
Vamos verificar a existência do elemento neutro da adição, ou seja, se existe um vetor
em
tal que
para todo
em
.
No caso, o vetor
funciona:
Então, o elemento neutro existe e é
.
Passo 5
Agora, a existência do inverso aditivo: para cada vetor
em
, deve existir um vetor
tal que
.
Para
, o inverso é
:
Então, todo vetor tem seu inverso aditivo.
Passo 6
Vamos verificar a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores, ou seja, se
.
Calculando:
Os dois lados são iguais, então a distributividade está válida.
Passo 7
Agora, a distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de escalares, ou seja,
.
Calculando:
Os dois lados coincidem, então essa propriedade também está satisfeita.
Passo 8
Vamos verificar a compatibilidade da multiplicação escalar com a multiplicação de escalares, ou seja,
.
Calculando:
Os dois resultados são iguais, então a compatibilidade está confirmada.
Passo 9
Por fim, a identidade da multiplicação escalar, que diz que
.
Calculando:
Portanto, a identidade da multiplicação escalar também está satisfeita.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias foram verificadas e satisfeitas, concluímos que
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas é um espaço vetorial.