Sendo F, G e H in L(R^2) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) e H(x, y)=(0, x), determinar G circ F circ H.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três transformações lineares e definidas no espaço . O objetivo é encontrar a composição dessas transformações, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como cada transformação age sobre um par de números e aplicar uma de cada vez nessa ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que a transformação H(x, y) = (0, x) faz. A função está definida por:
Isso significa que, para qualquer ponto , vai transformar esse ponto no par . Basicamente, ela pega o valor de e o coloca na segunda posição, zerando o primeiro valor.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação F(u, v) = (u, 2v) ao resultado de F(H(x, y)) = F(0, x) = (0, 2x) . A função está definida por:
Aqui, e são os componentes do vetor que chegam até . Como , substituindo na função temos:
Então, após aplicar em , obtemos o par .

Passo 4

Por fim, vamos aplicar a transformação G(a, b) = (b, a + b) ao resultado de G(F(H(x, y))) = G(0, 2x) = (2x, 0 + 2x) = (2x, 2x) . A função está definida por:
Aqui, e são os componentes do vetor que chegam até . Já vimos que , então substituindo na função temos:
Portanto, a composição transforma em .

Resposta

A composição G circ F circ H (x, y) = (2x, 2x) é dada por:

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