Considere as matrizes e .
(a) Escreva as colunas de como uma combinação da forma .
(b) Escreva as linhas de como uma combinação da forma .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalharmos com as matrizes e dadas. A gente precisa multiplicar essas matrizes para obter e, depois, expressar as colunas de como combinações lineares das colunas de no item (a), e as linhas de como combinações das linhas de no item (b). Para resolver isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e o conceito de combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas de pelas colunas de . Vamos fazer isso passo a passo.
Matriz :
Matriz :
Vamos calcular cada elemento de :
Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
Repetindo para as outras linhas:
Linha 2, coluna 1:
Linha 2, coluna 2:
Linha 2, coluna 3:
Linha 3, coluna 1:
Linha 3, coluna 2:
Linha 3, coluna 3:
Então, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos para o item (a). Queremos escrever cada coluna de como uma combinação linear das colunas de . As colunas de são , e .
Ou seja, para cada coluna de , queremos encontrar escalares tais que:
Vamos fazer isso para cada coluna.
Passo 4
Primeira Coluna de :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, a primeira coluna é:
Passo 5
Segunda Coluna de :
Sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a segunda coluna é:
Passo 6
Terceira Coluna de :
Sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a terceira coluna é:
Resposta
(a) As colunas de podem ser escritas como combinações lineares das colunas de da seguinte forma: