Considere as matrizes A=[ccc1 & 0 & -2 -3 & 1 & 1 2 & 0 & -1] e B=[ccc2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4].
(a) Escreva as colunas de A B como uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A).
(b) Escreva as linhas de A B como uma combinação da forma r L1(B)+s L2(B)+t L3(B).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalharmos com as matrizes e dadas. A gente precisa multiplicar essas matrizes para obter e, depois, expressar as colunas de como combinações lineares das colunas de no item (a), e as linhas de como combinações das linhas de no item (b). Para resolver isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e o conceito de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto A = 1 & 0 & -2 -3 & 1 & 1 2 & 0 & -1 . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas de B = 2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4 pelas colunas de 1 times 2 + 0 times 1 + (-2) times (-1) = 2 + 0 + 2 = 4 . Vamos fazer isso passo a passo.
Matriz 1 times 3 + 0 times (-1) + (-2) times 6 = 3 + 0 - 12 = -9 :
1 times 0 + 0 times 1 + (-2) times 4 = 0 + 0 - 8 = -8
Matriz -3 times 2 + 1 times 1 + 1 times (-1) = -6 + 1 -1 = -6 :
-3 times 3 + 1 times (-1) + 1 times 6 = -9 -1 +6 = -4
Vamos calcular cada elemento de -3 times 0 + 1 times 1 + 1 times 4 = 0 +1 +4 =5 :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
2 times 2 + 0 times 1 + (-1) times (-1) =4 +0 +1 =5
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
2 times 3 + 0 times (-1) + (-1) times 6 =6 +0 -6 =0
  • Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
2 times 0 + 0 times 1 + (-1) times 4 =0 +0 -4 =-4
Repetindo para as outras linhas:
  • Linha 2, coluna 1:
A B = 4 & -9 & -8 -6 & -4 & 5 5 & 0 & -4
  • Linha 2, coluna 2:
  • Linha 2, coluna 3:
  • Linha 3, coluna 1:
  • Linha 3, coluna 2:
  • Linha 3, coluna 3:
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos para o item (a). Queremos escrever cada coluna de Cj(A B) = r C1(A) + s C2(A) + t C3(A) como uma combinação linear das colunas de . As colunas de são , e .
Ou seja, para cada coluna de , queremos encontrar escalares tais que:
Vamos fazer isso para cada coluna.

Passo 4

Primeira Coluna de 4 -6 5 = r 1 -3 2 + s 0 1 0 + t -2 1 -1 :
1r + 0s -2t = 4 -3r + 1s +1t = -6 2r + 0s -1t = 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
2r - t = 5 implies t = 2r -5
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
r - 2(2r -5) = 4 implies r -4r +10 =4 implies -3r = -6 implies r =2
Substituindo na primeira equação:
-3(2) + s + (-1) = -6 implies -6 + s -1 = -6 implies s =1
Então, C1(A B) = 2 C1(A) + 1 C2(A) -1 C3(A) .
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, a primeira coluna é:

Passo 5

Segunda Coluna de -9 -4 0 = r 1 -3 2 + s 0 1 0 + t -2 1 -1 :
1r + 0s -2t = -9 -3r +1s +1t = -4 2r +0s -1t =0
Sistema de equações:
2r - t =0 implies t =2r
Da terceira equação:
r -2(2r) = -9 implies r -4r = -9 implies -3r = -9 implies r=3
Substituindo na primeira equação:
-3(3) +s +6 = -4 implies -9 +s +6 = -4 implies s =-4 +9 -6 =-1
Então, C2(A B) =3 C1(A) -1 C2(A) +6 C3(A) .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a segunda coluna é:

Passo 6

Terceira Coluna de -8 5 -4 = r 1 -3 2 + s 0 1 0 + t -2 1 -1 :
1r +0s -2t = -8 -3r +1s +1t =5 2r +0s -1t =-4
Sistema de equações:
2r - t = -4 implies t =2r +4
Da terceira equação:
r -2(2r +4) = -8 implies r -4r -8 =-8 implies -3r =0 implies r=0
Substituindo na primeira equação:
-3(0) +s +4 =5 implies s =1
Então, C3(A B) =0 C1(A) +1 C2(A) +4 C3(A) .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a terceira coluna é:

Resposta

(a) As colunas de C1(A B) &= 2 C1(A) + 1 C2(A) -1 C3(A) C2(A B) &= 3 C1(A) -1 C2(A) +6 C3(A) C3(A B) &= 0 C1(A) +1 C2(A) +4 C3(A) podem ser escritas como combinações lineares das colunas de da seguinte forma:

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