Considere as matrizes e .
(a) Escreva as colunas de como uma combinação da forma .
(b) Escreva as linhas de como uma combinação da forma .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalharmos com as matrizes e dadas. A gente precisa multiplicar essas matrizes para obter e, depois, expressar as colunas de como combinações lineares das colunas de no item (a), e as linhas de como combinações das linhas de no item (b). Para resolver isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e o conceito de combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto . Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas de pelas colunas de . Vamos fazer isso passo a passo.
Matriz :
Matriz :
Vamos calcular cada elemento de :
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 1, coluna 2):
  • Terceiro elemento (linha 1, coluna 3):
Repetindo para as outras linhas:
  • Linha 2, coluna 1:
  • Linha 2, coluna 2:
  • Linha 2, coluna 3:
  • Linha 3, coluna 1:
  • Linha 3, coluna 2:
  • Linha 3, coluna 3:
Então, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos para o item (a). Queremos escrever cada coluna de como uma combinação linear das colunas de . As colunas de são , e .
Ou seja, para cada coluna de , queremos encontrar escalares tais que:
Vamos fazer isso para cada coluna.

Passo 4

Primeira Coluna de :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Agora, substituindo e na segunda equação:
Então, a primeira coluna é:

Passo 5

Segunda Coluna de :
Sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a segunda coluna é:

Passo 6

Terceira Coluna de :
Sistema de equações:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, .
Substituindo e na segunda equação:
Então, a terceira coluna é:

Resposta

(a) As colunas de podem ser escritas como combinações lineares das colunas de da seguinte forma:

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é gerado por .
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