Justifique porque se a inversa de uma matriz é ela própria, ela é uma matriz involutória.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para a gente justificar por que, se a inversa de uma matriz é ela mesma, então essa matriz é involutória. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como a matriz inversa e matrizes involutórias. Precisamos entender o que significa a inversa de uma matriz e o que define uma matriz involutória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. Para uma matriz A times A^-1 = I , a inversa é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade . Ou seja:
Isso significa que a inversa “desfaz” a operação da matriz original.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma matriz involutória. Uma matriz A times A = I ou A^2 = I é chamada de involutória se, ao multiplicá-la por ela mesma, o resultado for a matriz identidade. Em termos matemáticos:
Isso significa que a matriz é sua própria inversa.

Passo 4

O enunciado nos diz que a inversa de A^-1 = A é ela própria, ou seja:
A times A^-1 = I
Usando a definição da matriz inversa, sabemos que:
A times A = I Rightarrow A^2 = I
Substituindo por :
Isso exatamente coincide com a definição de uma matriz involutória.

Resposta

Portanto, se a inversa de uma matriz é ela mesma ( ), então é uma matriz involutória porque .

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