Justifique porque se a inversa de uma matriz é ela própria, ela é uma matriz involutória.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para a gente justificar por que, se a inversa de uma matriz é ela mesma, então essa matriz é involutória. Vamos usar conceitos de álgebra de matrizes, como a matriz inversa e matrizes involutórias. Precisamos entender o que significa a inversa de uma matriz e o que define uma matriz involutória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a matriz inversa. Para uma matriz
, a inversa
é aquela que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade
. Ou seja:
Isso significa que a inversa “desfaz” a operação da matriz original.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é uma matriz involutória. Uma matriz
é chamada de involutória se, ao multiplicá-la por ela mesma, o resultado for a matriz identidade. Em termos matemáticos:
Isso significa que a matriz é sua própria inversa.
Passo 4
O enunciado nos diz que a inversa de
é ela própria, ou seja:
Usando a definição da matriz inversa, sabemos que:
Substituindo
por
:
Isso exatamente coincide com a definição de uma matriz involutória.
Resposta
Portanto, se a inversa de uma matriz
é ela mesma (
), então
é uma matriz involutória porque
.