Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem , seja gerado pelos vetores . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial, transformação linear e núcleo de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o núcleo de uma transformação linear consiste em todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que significa que todas as combinações lineares desses vetores também estarão no núcleo.
Passo 3
Como é uma transformação linear de para , podemos representá-la por uma matriz de tamanho tal que . Nosso objetivo é encontrar essa matriz .
Passo 4
Sabemos que os vetores que geram o núcleo de devem satisfazer . Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos escrever a matriz A = a & b & c d & e & f como:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 a cdot 2 + b cdot 0 + c cdot 1 = 0 d cdot 2 + e cdot 0 + f cdot 1 = 0
Agora, aplicando a condição que a + b = 0 d + e = 0 2a + c = 0 2d + f = 0 deve anular os vetores dados:
Simplificando, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: → Substituindo : →
Da quarta equação: → Substituindo : →
Passo 7
Agora, podemos expressar a matriz A = a & b & c d & e & f = - b & b & 2b - e & e & 2e = b -1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 + e 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 2 em termos de e :
Passo 8
Para simplificar, podemos escolher A = -1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 e de forma que a matriz não seja a matriz zero (que não seria interessante). Vamos escolher e :
Resposta
A transformação linear F(x) = -1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 x que satisfaz gerado por é dada pela matriz: