Encontre F: R^3 longrightarrow R^2 linear tal que
N(F) é gerado por (1,1,0),(2,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem , seja gerado pelos vetores . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial, transformação linear e núcleo de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o núcleo de uma transformação linear consiste em todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que significa que todas as combinações lineares desses vetores também estarão no núcleo.

Passo 3

Como é uma transformação linear de para , podemos representá-la por uma matriz de tamanho tal que . Nosso objetivo é encontrar essa matriz .

Passo 4

Sabemos que os vetores que geram o núcleo de A 1 1 0 = 0 0 e A 2 0 1 = 0 0 devem satisfazer . Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos escrever a matriz A = a & b & c d & e & f como:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 d cdot 1 + e cdot 1 + f cdot 0 = 0 a cdot 2 + b cdot 0 + c cdot 1 = 0 d cdot 2 + e cdot 0 + f cdot 1 = 0
Agora, aplicando a condição que a + b = 0 d + e = 0 2a + c = 0 2d + f = 0 deve anular os vetores dados:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação: → Substituindo :
  4. Da quarta equação: → Substituindo :

Passo 7

Agora, podemos expressar a matriz A = a & b & c d & e & f = - b & b & 2b - e & e & 2e = b -1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 + e 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 2 em termos de e :

Passo 8

Para simplificar, podemos escolher A = -1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 e de forma que a matriz não seja a matriz zero (que não seria interessante). Vamos escolher e :

Resposta

A transformação linear F(x) = -1 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 x que satisfaz gerado por é dada pela matriz:

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