Encontre linear tal que
é gerado por .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma transformação linear tal que o núcleo de , ou seja, todos os vetores em que satisfazem , seja gerado pelos vetores . Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de espaço vetorial, transformação linear e núcleo de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o núcleo de uma transformação linear consiste em todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. No nosso caso, o núcleo é gerado por dois vetores, o que significa que todas as combinações lineares desses vetores também estarão no núcleo.

Passo 3

Como é uma transformação linear de para , podemos representá-la por uma matriz de tamanho tal que . Nosso objetivo é encontrar essa matriz .

Passo 4

Sabemos que os vetores que geram o núcleo de devem satisfazer . Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos escrever a matriz como:
Agora, aplicando a condição que deve anular os vetores dados:
Simplificando, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de :
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação: → Substituindo :
  4. Da quarta equação: → Substituindo :

Passo 7

Agora, podemos expressar a matriz em termos de e :

Passo 8

Para simplificar, podemos escolher e de forma que a matriz não seja a matriz zero (que não seria interessante). Vamos escolher e :

Resposta

A transformação linear que satisfaz gerado por é dada pela matriz:

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Justifique porque se a inversa de uma matriz é ela própria, ela é uma matriz involutória.
Encontre linear tal que
é gerada por ;
Considere as matrizes e .
(a) Escreva as colunas de como uma combinação da forma .
(b) Escreva as linhas de como uma combinação da forma .
Considere em as bases e e a matriz
Calcule .