(a) Se A é uma matriz retangular, tal que A^t A é invertível, verifique que a matriz B=(A^t A)^-1 A^t é uma inversa à esquerda de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde temos uma matriz retangular e sabemos que é invertível. A gente precisa provar que a matriz é uma inversa à esquerda de . Isso significa mostrar que , onde é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transposta, inversa de matriz e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . A transposta de uma matriz , denotada por , é simplesmente a matriz formada trocando as linhas pelas colunas de .

Passo 3

Agora, sabemos que é invertível. Isso é importante porque só podemos encontrar a inversa de uma matriz se ela for quadrada e tiver determinante diferente de zero. A invertibilidade de nos garante que podemos calcular .

Passo 4

Vamos definir B times A = (A^t A)^-1 A^t times A = I . Nosso objetivo é mostrar que multiplicando por , a gente obtém a matriz identidade . Ou seja, provar que:

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação de (A^t A)^-1 A^t A por :
Aqui, é uma matriz quadrada e invertível, conforme dado no problema.

Passo 6

Observe que (A^t A)^-1 times (A^t A) = I é a inversa de . Quando multiplicamos uma matriz pela sua inversa, o resultado é a matriz identidade . Então:

Passo 7

Portanto, juntando tudo:
B times A = (A^t A)^-1 A^t A = (A^t A)^-1 times (A^t A) = I
Isso mostra que é realmente uma inversa à esquerda de .

Resposta

Concluímos que é uma inversa à esquerda de , pois .

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