(a) Se
é uma matriz retangular, tal que
é invertível, verifique que a matriz
é uma inversa à esquerda de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício onde temos uma matriz retangular
e sabemos que
é invertível. A gente precisa provar que a matriz
é uma inversa à esquerda de
. Isso significa mostrar que
, onde
é a matriz identidade. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como transposta, inversa de matriz e multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. A transposta de uma matriz
, denotada por
, é simplesmente a matriz formada trocando as linhas pelas colunas de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é invertível. Isso é importante porque só podemos encontrar a inversa de uma matriz se ela for quadrada e tiver determinante diferente de zero. A invertibilidade de
nos garante que podemos calcular
.
Passo 4
Vamos definir
. Nosso objetivo é mostrar que multiplicando
por
, a gente obtém a matriz identidade
. Ou seja, provar que:
Passo 5
Vamos fazer a multiplicação de
por
:
Aqui,
é uma matriz quadrada e invertível, conforme dado no problema.
Passo 6
Observe que
é a inversa de
. Quando multiplicamos uma matriz pela sua inversa, o resultado é a matriz identidade
. Então:
Passo 7
Portanto, juntando tudo:
Isso mostra que
é realmente uma inversa à esquerda de
.
Resposta
Concluímos que
é uma inversa à esquerda de
, pois
.